Уравнение (x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)=N

[scwec]

Докажите, что уравнение $(x_1+x_2+...+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right)=N$ при $n\ge{4}$ и любом целом $N$ (кроме, возможно, $N=1$ при $n=4$) имеет бесконечно много различных целых решений.
(Два решения $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ и $\tilde x=(\tilde x_1,\tilde x_2,...,\tilde x_n)$ различны, если $x\ne{r}{\tilde x}$, где $r$ - рациональное число).

[maxal]

Случай $n=3$ разбирается там же в разделе 6.2.

(Оффтоп)

Кстати, там пишут:
"There are 3 points of order 2 when $(N-9)(N-1)$ is an non-zero integer square. This only seems to happen when $N = 10$, though I have not tried to prove this!"
А на самом деле это очень просто доказать, так как задача сводится к разности квадратов...

[scwec]

Подправил условие, добавив (кроме, возможно, $N=1$ при $n=4$).

(Оффтоп)

maxal в сообщении #1191772 писал(а):

Кстати, там пишут:
"There are 3 points of order 2 when $(N-9)(N-1)$ is an non-zero integer square. This only seems to happen when $N = 10$, though I have not tried to prove this!"
А на самом деле это очень просто доказать, так как задача сводится к разности квадратов...

Согласен, действительно просто.

[scwec]

Еще одно пояснение по поводу $N=1,n=4$.
Решения для $N=1,n=4$ существуют. Например,
$x_1=-8,x_2=-24,x_3=5,x_4=-18$,
$x_1=-35,x_2=-120,x_3=15,x_4=168$,
$x_1=-35,x_2=-120,x_3=15,x_4=-28$ и т.д.
Однако, под вопросом бесконечность количества различных решений в этом случае.
Нет простого доказательства.
В остальных случаях все достаточно элементарно.