"Произвольные сферические" координаты в R^{n+1}

[vanger]

Пусть $X^A$ -- декартовы координаты в $\mathbb R^{n+1}$, а $x^\mu$ -- произвольные координаты на $n$-мерной сфере, стандартно вложенной в $\mathbb R^{n+1}$. Тогда $x^\mu, r = \sqrt{X_A X^A}$ будут координатами в $\mathbb R^{n+1}$.

1. Казалось бы, ясно, что в этих координатах компоненты метрического тензора в $\mathbb R^{n+1}$ будут иметь вид

$$ ds^2 = r^2 h_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu + dr^2, $$

где $h_{\mu\nu}$ -- метрика на единичной сфере, индуцированная вложением.

Но что-то у меня не получается это честно показать. OK, можно написать

$$ ds^2 = \eta_{AB} dX^A dX^B = \eta_{AB} \left( \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} dx^\mu + \frac{\partial X^A}{\partial r} dr \right) \left( \frac{\partial X^B}{\partial x^\nu} dx^\nu + \frac{\partial X^B}{\partial r} dr \right). $$

Где $g_{\mu\nu} = \eta_{AB} \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} \frac{\partial X^B}{\partial x^\nu}$ ($\eta_{AB} = diag(1,\dots,1)$) -- индуцированная метрика на сфере радиуса $r$. $g_{\mu\nu}|_{r=1} = h_{\mu\nu}$. То, что $g_{\mu\nu} = r^2 h_{\mu\nu}$ следует из соображений размерности (но хотелось бы формального доказательства).

А вот с остальными компонентами тензора ($g_{\mu(r)} = g_{(r)\mu} \overset{?}{=} 0$ и $g_{(r)(r)} \overset{?}{=} 1$) я застрял. Ну, можно $X_A X^A = r^2$ подифференцировать по $x^\mu$ и $r$ -- получим

$$ X_A \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} = 0, \qquad X_A \frac{\partial X^A}{\partial r} = -r $$

но нужные частные производные входят в эти выражения лишь в суммах, так что, в общем случае, непонятно как это использовать...


2. Так же возник связанный вопрос. Пусть

$$ \mathcal W = dX^0 \wedge \dots \wedge dX^n = \frac{1}{(n+1)!} \epsilon_{A_0 \dots A_n} dX^{A_0} \wedge \dots \wedge dX^{A_n} = \frac{1}{n!} \epsilon_{A A_1 \dots A_n} \frac{\d X^A}{\d r} dr \wedge \frac{\d X^{A_1}}{\d x^{\mu_1}} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge \frac{\d X^{A_n}}{\d x^{\mu_n}} dx^{\mu_n} $$

стандартная форма объёма в $\mathbb R^{n+1}$. Как показать, что пуллбэк $i_{\frac{1}{X^2} X^A \partial_{X^A}} \mathcal W = i_{\partial_r} \mathcal W$ на сферу равен $w = \sqrt{|g|} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge dx^{\mu_n}$ -- римановой форме объёма на сфере? На уровне рукомахания и маломерных аналогий утверждение кажется очевидным. Но как честно показать в общем случае?

[Munin]

vanger в сообщении #1191548 писал(а):

Ну, можно $X_A X^A = r^2$ подифференцировать по $x^\mu$ и $r$

дважды?

[vanger]

Munin в сообщении #1191557 писал(а):

дважды?

А со вторыми производными, типа $X_A \frac{\partial^2 X^A}{\partial r \partial x^\mu}$, что делать?

-- Пт фев 10, 2017 22:00:18 --

vanger в сообщении #1191548 писал(а):

Как показать, что пуллбэк $i_{\frac{1}{X^2} X^A \partial_{X^A}} \mathcal W = i_{\partial_r} \mathcal W$ на сферу равен $w = \sqrt{|g|} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge dx^{\mu_n}$ -- римановой форме объёма на сфере?

С этим, врочем, более-менее понятно (хотя комментарии по теме приветствуются). Действительно, риманова форма объёма, по построению, равна 1 на ортонормированном базисе. Пусть $e_1, \dots, e_n$ -- ортонормированный базис в касательном пространстве сферы. Тогда $\partial_r, e_1, \dots, e_n$ -- онторонмированный базис в касательном пространстве $\mathbb R^{n+1}$. По определению внутреннего произведения, $(i_{\partial_r} \mathcal W) (e_1, \dots, e_n) = \mathcal W (\partial_r, e_1, \dots, e_n) = 1$. Так что $i_{\partial_r} \mathcal W$ равно 1 на любом ортонормированном базисе в касательном пространстве к сфере. Потому и пуллбэк её равен 1 на любом ортонормированном базисе. А, потому, это риманова форма объёма.

Первый вопрос по-прежнему в силе.

[vanger]

Отпустило.

Надо показать, что векторы $\partial_\mu$ (а потому и любой вектор из касательного пространства сферы) и $\partial_r$ ортогональны. Сфера — поверхность уровня. Градиент к ней ортогонален ей. А градиент это
$\sharp_\eta d (X^2) = \eta^{AB} 2X_B \partial_A = 2 X^A \partial_A = 2 r \partial_r$.
Т.е. $\partial_r$ пропорционален градиенту, а, потому, ортогонален поверхности. Потому $g_{\mu(r)} = 0$.

Последнюю компоненту тоже возьмём и по определению посчитаем:

$$ g_{(r)(r)} = g(\partial_r, \partial_r) = g( 1/r X^A \partial_A, 1/r X^B \partial_B ) = 1/r^2 g(\partial_A, \partial_B) X^A X^B = 1. $$