Профессор Снэйп писал(а):
А если попробовать контрпример построить?
Пусть пространство

имеет счётный гильбертов базис

В качестве

возьмём замкнутое подпростанство в

, гильбертов базис которого равен

В качестве

--- замкнутое подпространство, имеющее гильбертов базис

(то есть замыкание линейной оболочки этих векторов). Искомый супремум равен единице. Где тут подвох, что здесь не работает?
Класс! Про этот "контрпример" я, конечно, знаю:). Вы перевели беседу немного в более серьезное русло, чем я ожидал. Заголовок темы изменен.
Задача (сложная): доказать, что этот "контрпример" не противоречит утверждению сформулированному в начале ветки.
Подсказака. Доказать, что в этом "контрпримере" пространство

незамкнуто, и соответственно

.
Приведу доказательство исходного утверждения.
Предположим от противного, что найдутся последовательности

и

такие, что

, и конечно все элементы этих последовательностей равны по норме единице. Тогда, очевидно,

.
Обозначим через

-- оператор проектирования на

вдоль

. Этот оператор непрерывен. (Ключевое место доказательства!) Можно сослаться на Робертсон "Топологические векторные пространства", а можно вывести эту непрерывность самостоятельно из теоремы о замкнутом графике.
Дальше все ясно, с одной стороны

, с другой

. Противоречие.