Функциональный анализ, простая задача

[zoo]

$H$ -- гильбертово пространство
$H=M\oplus N$ $M,N$ -- замкнутые подпространства. Доказать, что
$\sup (u,v)<1$, где sup берется по всем $u\in M,v\in N$ таким, что $\|u\|=\|v\|=1$.

[Профессор Снэйп]

Тут, пожалуй, требуется расшифровка. Запись $H = M \oplus N$ следует понимать так, что $M \cap N = \{ 0 \}$ и для любого $h \in H$ найдутся единственные $m \in M$ и $n \in N$, для которых $h = m + n$. Другими словами, имеется в виду не внешняя, а внутренняя прямая сумма подпространств. Не знаю, как в функане, а в алгебре она обычно записывается при помощи простого знака "плюс", без кружочка: $H = M + N$.

Сама задача весьма проста. Будем, следуя автору топика, круглыми скобками обозначать скалярное произведение, а угловые скобки зарезервируем для обозначения элементов $H \times H$. Пусть

$$ D = \{ \langle u,v \rangle : \| u \| = \| v \| = 1, u \in M, v \in N \} \subseteq H^2 $$

и

$$ \sup_{\langle u,v \rangle \in D} (u,v) = 1. $$

В силу того, что $D$ замкнуто (доказывается тривиально, исходя из определений) имеем $(u_0,v_0)=1$ для некоторой пары $\langle u_0, v_0 \rangle \in D$. Отсюда и из равенства

$$ \| u_0 - v_0 \|^2 = \| u_0 \|^2 + \| v_0 \|^2 - 2(u_0,v_0) $$

следует, что $\| u_0 - v_0 \|^2 = 0$ и $u_0 = v_0$. То есть существует единичный вектор, лежащий одновременно в $M$ и в $N$. Противоречие.

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Тут, пожалуй, требуется расшифровка. Запись $H = M \oplus N$ следует понимать так, что $M \cap N = \{ 0 \}$ и для любого $h \in H$ найдутся единственные $m \in M$ и $n \in N$, для которых $h = m + n$. Другими словами, имеется в виду не внешняя, а внутренняя прямая сумма подпространств. Не знаю, как в функане, а в алгебре она обычно записывается при помощи простого знака "плюс", без кружочка: $H = M + N$.

Спасибо, коммент вполне уместный.

Профессор Снэйп писал(а):

Сама задача весьма проста. Будем, следуя автору топика, круглыми скобками обозначать скалярное произведение, а угловые скобки зарезервируем для обозначения элементов $H \times H$. Пусть

$$ D = \{ \langle u,v \rangle : \| u \| = \| v \| = 1, u \in M, v \in N \} \subseteq H^2 $$

и

$$ \sup_{\langle u,v \rangle \in D} (u,v) = 1. $$

В силу того, что $D$ замкнуто (доказывается тривиально, исходя из определений) имеем $(u_0,v_0)=1$ для некоторой пары $\langle u_0, v_0 \rangle \in D$.

а почему такая пара $\langle u_0, v_0 \rangle \in D$ существует?

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

а почему такая пара $\langle u_0, v_0 \rangle \in D$ существует?

Ну... Забыл я уже функан... Попробуем так.

$D$ замкнуто. Рассмотрим множества

$$ D_n = \{ \langle u,v \rangle \in D : (u,v) \geqslant 1 - 1/n \} $$

Они все тоже замкнуты. И не пусты. Надо бы показать, что их пересечение не пусто.

Вот если бы их диаметр стремился к нулю, то тогда бы это следовало из полноты $H^2$ (гильбертово пространство ведь полно по определению). Но диаметр у них к нулю стремиться не хочет. Значит, надо в каждом $D_n$ выбрать непустое замкнутое подмножество $E_n$ так, чтобы $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \ldots$ и $\mathrm{diam}(E_n) \to 0$.

А как это сделать?... Н-да, непонятно. Поспешил я, вероятно.

Добавлено спустя 11 минут 43 секунды:

А если попробовать контрпример построить?

Пусть пространство $H$ имеет счётный гильбертов базис

$$ \{ e_1, e_2, \ldots \} $$

В качестве $M$ возьмём замкнутое подпростанство в $H$, гильбертов базис которого равен

$$ \{ e_1, e_3, e_5, \ldots \}. $$

В качестве $N$ --- замкнутое подпространство, имеющее гильбертов базис

$$ \{ (e_1+e_2)/\sqrt{2}, (2e_3+e_4)/\sqrt{5}, (3e_5+e_6)/\sqrt{10}, \ldots \} $$

(то есть замыкание линейной оболочки этих векторов). Искомый супремум равен единице. Где тут подвох, что здесь не работает?

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

А если попробовать контрпример построить?

Пусть пространство $H$ имеет счётный гильбертов базис

$$ \{ e_1, e_2, \ldots \} $$

В качестве $M$ возьмём замкнутое подпростанство в $H$, гильбертов базис которого равен

$$ \{ e_1, e_3, e_5, \ldots \}. $$

В качестве $N$ --- замкнутое подпространство, имеющее гильбертов базис

$$ \{ (e_1+e_2)/\sqrt{2}, (2e_3+e_4)/\sqrt{5}, (3e_5+e_6)/\sqrt{10}, \ldots \} $$

(то есть замыкание линейной оболочки этих векторов). Искомый супремум равен единице. Где тут подвох, что здесь не работает?

Класс! Про этот "контрпример" я, конечно, знаю:). Вы перевели беседу немного в более серьезное русло, чем я ожидал. Заголовок темы изменен.

Задача (сложная): доказать, что этот "контрпример" не противоречит утверждению сформулированному в начале ветки.

Приведу доказательство исходного утверждения.
Предположим от противного, что найдутся последовательности
$\{u_k\}\subset M$ и $\{v_k\}\subset N $ такие, что $(u_k,v_k)\to 1$, и конечно все элементы этих последовательностей равны по норме единице. Тогда, очевидно, $\|u_k-v_k\|\to 0$.
Обозначим через $P:H\to N$ -- оператор проектирования на $N$ вдоль $M$. Этот оператор непрерывен. (Ключевое место доказательства!) Можно сослаться на Робертсон "Топологические векторные пространства", а можно вывести эту непрерывность самостоятельно из теоремы о замкнутом графике.
Дальше все ясно, с одной стороны $\|P(u_k-v_k)\|\to 0$, с другой $P(u_k-v_k)=-v_k$. Противоречие.

[zoo]

zoo писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

А если попробовать контрпример построить?

Пусть пространство $H$ имеет счётный гильбертов базис

$$ \{ e_1, e_2, \ldots \} $$

В качестве $M$ возьмём замкнутое подпростанство в $H$, гильбертов базис которого равен

$$ \{ e_1, e_3, e_5, \ldots \}. $$

В качестве $N$ --- замкнутое подпространство, имеющее гильбертов базис

$$ \{ (e_1+e_2)/\sqrt{2}, (2e_3+e_4)/\sqrt{5}, (3e_5+e_6)/\sqrt{10}, \ldots \} $$

(то есть замыкание линейной оболочки этих векторов). Искомый супремум равен единице. Где тут подвох, что здесь не работает?

Класс! Про этот "контрпример" я, конечно, знаю:). Вы перевели беседу немного в более серьезное русло, чем я ожидал. Заголовок темы изменен.

Задача (сложная): доказать, что этот "контрпример" не противоречит утверждению сформулированному в начале ветки.

Подсказака. Доказать, что в этом "контрпримере" пространство $M\oplus N$ незамкнуто, и соответственно $M\oplus N\ne H$.


Приведу доказательство исходного утверждения.
Предположим от противного, что найдутся последовательности
$\{u_k\}\subset M$ и $\{v_k\}\subset N $ такие, что $(u_k,v_k)\to 1$, и конечно все элементы этих последовательностей равны по норме единице. Тогда, очевидно, $\|u_k-v_k\|\to 0$.
Обозначим через $P:H\to N$ -- оператор проектирования на $N$ вдоль $M$. Этот оператор непрерывен. (Ключевое место доказательства!) Можно сослаться на Робертсон "Топологические векторные пространства", а можно вывести эту непрерывность самостоятельно из теоремы о замкнутом графике.
Дальше все ясно, с одной стороны $\|P(u_k-v_k)\|\to 0$, с другой $P(u_k-v_k)=-v_k$. Противоречие.

[Профессор Снэйп]

Не понимаю, в чём смысл последнего сообщения zoo. Это же просто цитата предпоследнего!

Что касается "контрпримера", то я разобрался. Похоже, что в этом "контрпримере" $H \neq M + N$. Для сокращения записи обозначим

$$ h_n = \frac{ne_{2n-1}+e_{2n}}{\sqrt{n^2+1}} $$

и пусть

$$ h = \sum_{n=1}^\infty \frac{e_{2n}}{n} $$

Тогда, очевидно, $h \in H$. Допустим, что $h = u + v$, где $u \in M$ и $v \in N$. Имеем

$$ u = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n e_{2n-1} $$

и

$$ v = \sum_{n=1}^\infty \beta_n h_n, $$

где

$$ \sum_{n=1}^\infty \alpha_n^2,\, \sum_{n=1}^\infty \beta_n^2 < \infty. $$

Получается

$$ \frac{1}{n} = (h, e_{2n}) = (v, e_{2n}) = \beta_n(h_n, e_{2n}) = \frac{\beta_n}{\sqrt{n^2+1}}, $$

откуда

$$ \beta_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} $$

и

$$ \sum_{n=1}^\infty \beta_n^2 = \infty. $$

Противоречие.

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Не понимаю, в чём смысл последнего сообщения zoo. Это же просто цитата предпоследнего!

читайте внимательнее, там предлагается проверить то, что вы сделали ниже не надо было мне все сообщение копировать, торопился

[Профессор Снэйп]

А, да, там в середине какая-то "подсказка". Так сразу и не углядишь.

Низкого же Вы о нас мнения, если с подобными "подсказками" торопитесь!

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

А, да, там в середине какая-то "подсказка". Так сразу и не углядишь.

Низкого же Вы о нас мнения, если с подобными "подсказками" торопитесь!

ну вообще-то я на студентов расчитывал, а когда Вы этот "контрпример" влепили, понял что студенты точно не просекут в чем фокус. Мне это все не кажется таким уж тривиальным

[Профессор Снэйп]

А Вы мою задачу про множества диаметра $\leqslant 1$, которое вписывают в шар, знаете как решать?

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

А Вы мою задачу про множества диаметра $\leqslant 1$, которое вписывают в шар, знаете как решать?

Думаю. Мне кажется, что тут основные трудности -- в любом конечномерном пространстве доказать, а на бесконечномерный случай обобщить будет нетрудно. Кстати а пространство сепарабельно?

[Профессор Снэйп]

Кстати, интересно: можно ли моё решение довести до ума следующим способом? Пусть

$$ E = \{ u - v : \langle u,v \rangle \in D \}. $$

Тогда $E$ --- это подмножество $H$, не содержащее ноль. Если предположить, что супремум равен $1$, то отсюда легко вывести, что $E$ содержит сколь угодно малые по норме элементы. Теперь если $E$ замкнуто, то противоречие налицо. А вот будет ли оно замкнутым? Эх, плохо решать задачи по предмету, который сдавал 15 лет назад и потом в нём не практиковался!

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

zoo писал(а):

Кстати а пространство сепарабельно?

В конечномерном случае конечно же да А для обобщения на бесконечномерный сеперабельность вроде бы не требуется. Вообще, в известном мне решении она не требуется никак. То есть гильбертов базис в $H$ может иметь произвольную мощность.

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, интересно: можно ли моё решение довести до ума следующим способом? Пусть

$$ E = \{ u - v : \langle u,v \rangle \in D \}. $$

Тогда $E$ --- это подмножество $H$, не содержащее ноль. Если предположить, что супремум равен $1$, то отсюда легко вывести, что $E$ содержит сколь угодно малые по норме элементы. Теперь если $E$ замкнуто, то противоречие налицо. А вот будет ли оно замкнутым?

я думаю, что не смотря на простоту, для доказательства таких вещей всеравно нужно использовать фундаментальные теоремы функционального анализа, просто из соображений непрерывности это не делается, как мне кажется

Профессор Снэйп писал(а):

То есть гильбертов базис в $H$ может иметь произвольную мощность.

буду думать, с наскока решения не вижу

[Профессор Снэйп]

Давайте я перенесу эту дискуссию в ту ветку. А то как-то нехорошо получается: обсуждаем здесь задачу из другой темы.