Функция Грина и обратный оператор

[Gickle]

День добрый, пусть $i g(t,t'),$ есть функция Грина оператора $(\partial_t^2 + \omega^2)$, то есть

$(\partial_t^2 + \omega^2) i g(t,t') = \delta(t - t')$

Вопрос следующий: вот часто говорят, что функция Грина - это есть суть обратный оператор для "своего" оператора. Оно и понятно вроде как, ведь само опредление, по сути, есть то, что произведение оператора на его функцию Грина есть тождественный оператор. Теперь вот я хочу, скажем, найти $i g^{-1}(t,t')$ в самом формальном виде. Вопрос, правильно ли, что

$i g^{-1}(t,t') = \delta(t - t') \cdot (\partial_t^2 + \omega^2)$?

(с "операторном" смысле, то есть имея в виду действие на некоторую функцию из пространства, на котором определен исходный оператор)

Ведь если опять же проводить аналогию с линейной алгеброй, то $\delta^{-1}(t - t') = \delta(t - t')$

Итак, правильно ли записанное выше?

P.S. Подозреваю, что, с точки зрения формальной математики, я всё ужасно написал. Прошу за это извинить, у меня ничего такого (подозреваю, что это к функциональному анализу относится) в программе, увы, не было.

[amon]

Gickle в сообщении #1190092 писал(а):

Вопрос следующий: вот часто говорят, что функция Грина - это есть суть обратный оператор для "своего" оператора.

Сейчас набегут математики и закидают тапками, но тем не менее.. Функция Грина не оператор, а ядро оператора. Т.е. есть оператор $\hat{A}$. Если он из $L^2$, то его действие на функцию всегда можно представить как $\hat{A}f=\int A(x,x')f(x')dx'$ и $A(x,x')$ называется ядром оператора. Функция Грина определяется как ядро оператора обратного исходному, т.е. $\hat{A}\hat{G}=I$, где $I$ - единичный оператор. Из этого равенства следует уравнение на ядро. К стати, оператор определяется не только и не столько уравнением, сколько граничными условиями к нему. Поэтому у одного уравнения много функций Грина.

[Munin]

amon в сообщении #1190107 писал(а):

Функция Грина не оператор

amon в сообщении #1190107 писал(а):

Функция Грина определяется как оператор...

В соседних строчках же! :-)

amon в сообщении #1190107 писал(а):

Функция Грина не оператор, а ядро оператора.

+1. А сам оператор есть свёртка с функцией Грина. Интегральный оператор. Сама функция Грина может быть обобщённой функцией, тогда оператор будет интегро-дифференциальный. (Пример: функция Грина оператора Д'Аламбера в бесконечном 3-мерном пространстве.)

amon в сообщении #1190107 писал(а):

Кстати, оператор определяется не только и не столько уравнением, сколько граничными условиями к нему. Поэтому у одного уравнения много функций Грина.

Формально да. Фактически иногда да, иногда нет. Когда мы изучаем ураматы и граничные задачи на уравнения матфизики, то да. А с другой стороны, в физике нам часто интересно уравнение, записанное в бесконечном пространстве. И для него функция Грина единственная или почти единственная. Например, в данном случае.

[amon]

Munin в сообщении #1190137 писал(а):

В соседних строчках же!

А это у меня сегодня с головой проблемы ;) Поправил.

Munin в сообщении #1190137 писал(а):

Фактически иногда да, иногда нет. Когда мы изучаем ураматы и граничные задачи на уравнения матфизики, то да. А с другой стороны, в физике нам часто интересно уравнение, записанное в бесконечном пространстве. И для него функция Грина единственная или почти единственная.

Когда мы решаем уравнение на функцию Грина, к примеру преобразованием Фурье, мы неявно накладываем те самые граничные условия когда регуляризуем получившееся выражение. В результате,как правило, мы накладываем условие убывания на пространственной бесконечности либо асимптотику на бесконечности и еще какое-нибудь правило обхода полюсов определяет считаем мы запаздывающую, опережающую или еще какую функцию Грина. Просто это часто явно не проговаривается, а закапывается в способ расчета.

[Munin]

По сути да, но это уже professional level :-)
А тут вообще пока одномерное уравнение, ОДУ, как я смотрю. Учебная ситуация.