Геометрическое неравенство

[Markiyan Hirnyk]

Пусть $ m_a,\,m_b,\,m_c$ - длины медиан треугольника $ABC$, проведенных к сторонам $ BC,CA,AB,$ а $r_a,r_b,r_c$ -
длины радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся соответствующих сторон.
Доказать неравенство $\frac {r_ar_b} {m_am_b}+\frac {r_br_c} {m_bm_c}+\frac {r_cr_a} {m_cm_a} \ge 3$.

[Sergic Primazon]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1189978 писал(а):

Пусть $ m_a,\,m_b,\,m_c$ - длины медиан треугольника $ABC$, проведенных к сторонам $ BC,CA,AB,$ а $r_a,r_b,r_c$ -
длины радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся соответствующих сторон.
Доказать неравенство $\frac {r_ar_b} {m_am_b}+\frac {r_br_c} {m_bm_c}+\frac {r_cr_a} {m_cm_a} \ge 3$.

$a=y+z\ , b=z+x \ , c=x+y$

$r_ar_b = \dfrac{xyz^2}{r^2} \ , \dots$

$m_am_b \le \dfrac{c^2}{2}+\dfrac{ab}{4} \ , \dots$

$$LHS \ge \dfrac{4xyz}{r^2} \left( \dfrac{z}{2c^2+ab}+ \dfrac{y}{2b^2+ca}+\dfrac{x}{2a^2+bc}\right) \ge$$

$$\ge \dfrac{4xyz}{r^2} (x+y+z)^2\dfrac{1}{(2c^2+ab)z+(2b^2+ca)y+(2a^2+bc)x}= \dfrac{4 p^3}{(2c^2+ab)z+(2b^2+ca)y+(2a^2+bc)x}\ge 3$$

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}^{} x^3+3\sum\limits_{cyc}^{}{(x^2y+yx^2)} \ge 21 xyz$$

[Markiyan Hirnyk]

Sergic Primazon: Спасибо за интерес к задаче. Пожалуйста, изложите подробно доказательства оценок для произведений длин радиусов и медиан, неравенств в $LHS \ge \dots \ge 3$ и последней эквивалентности. Пока это не сделано, нельзя Ваш ответ считать обоснованным. Кстати, при слишком сжатом изложении легко ошибиться.

[sergei1961]

Для произведения радиусов есть простая формула. А для произведения медиан-есть? Если есть-то AGM?

[sergei1961]

AGM требует такого неравенства: $r/p \ge 8/27$, оно верно? Есть оценки числом в другую сторону.

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #1190074 писал(а):

$m_am_b \le \dfrac{c^2}{2}+\dfrac{ab}{4} \ , \dots$

Это теорема Птолемея (по $\frac{2}{3}$ от двух медиан - это две диагонали).

[Markiyan Hirnyk]

arqady
Спасибо. Вы имеете в виду неравенство Птоломея? Пожалуйста, изложите этот момент подробнее.