Уравнение x/y+y/z+z/x=N

[scwec]

Найдите все рациональные решения уравнения $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=N$
при
1. $N=3$
2. $N=5$

[gris]

1. Ну ку-ку-ку, конечно, подходит, если не ноль. А вот вопрос: можно ли отрицательные числа? На первый взгляд, в глаза бросается $(-12,2,9)$ — даже в целых, но разрешается ли?
2. Тут тоже навскидку $(4,1,2)$, ну и циклическая подмена $(2,4,1);(1,2,4)$. Ясно, что на произвольное ненулевое ку можно умножить.

То есть решения существуют, не тревожьтесь! И даже натуральные. Видно, как можно из одного решения получить хоть три миллиона. Попробую квадратное уравнение. Чтобы дискриминант был квадратом рационального числа.
Вот ещё соображение. Если $(a,b,c)$ решение, то и $(aq,bq,cq)$ решение. А значит можно искать решения вида $(1,x,y)$.

[scwec]

gris, рад встрече с Вами.
Все высказанные соображения верны.
Но могу сказать, что два предложенных случая сильно отличаются друг от друга.
И ключевое слово - "дискриминант", вот только дискриминант чего?

[gris]

Я думал, что можно искать решения вида $(1,y,z)$. Уравнение приводится к
$z+y^2+z^2y=Nyz$. Рассмотрим его как квадратное относительно $y$. Если существует рациональное решение, то и корень из дискриминанта должен быть рациональным. То есть дискриминант должен быть квадратом рационального числа. И обратно, если дискриминант равен квадрату рационального числа при рациональном $z$, то существует рациональное решение.
Рассмотрим дискриминант.
$D=z^4-2Nz^3+Nz^2-4z$. И сразу представим $z=\frac km$. Тогда
$D=(k^4-2Nk^3m+Nk^2m^2-4km^3)/m^4$.
То есть нам надо найти пары $(k,m): k^4-2Nk^3m+Nk^2m^2-4km^3=M^2$.
К сожалению, я урывками сейчас и тетрадочки даже нет под рукой. Может уже и напутал
А Ваши задачи я всегда смотрю и разбираю.

[Shadow]

Параметрическое решение системы:
$\begin{cases} abc=1 \\ a+b+c=3 \end{cases}$

$\left(-\dfrac{k^2}{k+1},\;-\dfrac{1}{k(k+1)},\; \dfrac{(k+1)^2}{k}\right)$

[scwec]

Shadow, это то, что нужно (конечно, параметризация не включает $a=b=c=1$).
Первый пункт этим ответом закрыт.
Остается второй пункт.

[sergei1961]

Для положительных значений первый пункт следует из неравенства о средних. Общий случай к этому не свести?

[scwec]

Дам некоторые разъяснения.
Исходное уравнение $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=N\qquad(1)$
заменой переменных $\dfrac{x}{z}=-u,\dfrac{y}{z}=-\dfrac{v}{u}$ приводится к виду $v^2+Nuv+v-u^3=0\qquad(2)$.
Это уравнение кубической кривой с дискриминантом $D=-27+N^3$ (его выше я и упоминал). При $N=3$ дискриминант $D=0$ и кривая $(2)$ является особой.
Особая (сингулярная) точка в данном случае одна $(u,v)=(-1,1)$. Находится она приравниванием нулю частных производных по $u,v$ от левой части уравнения $(2)$ и решением системы двух уравнений относительно $u,v$.
Кривая $(2)$ состоит из двух частей - изолированной точки $(-1,1)$ и бесконечной дуги, для которой $u\ge-1/4$.
Каждая секущая прямая, проведенная через особую точку, пересекает дугу не более чем в одной точке,
поэтому здесь и возможна полная рациональная параметризация (она не включает только $u=-1,v=1$ и, соответственно, $x=y=z$).
Для других рациональных $N$ кривые $(2)$ ввиду $D\ne{0}$ являются эллиптическими кривыми
и общая рациональная параметризация при бесконечном количестве рациональных точек на них, невозможна.
Другое дело, когда количество рациональных точек конечно. Их возможно перечислить. Это и есть пункт 2.
Надо только ответить на вопрос - чем отличается $N=5$ от других $N$ в плане количества рациональных точек на кривой $(2)$.

[scwec]

По п.2 правильный ответ дал gris.
Кривая $(2)$ при $N=5$ - это $v^2+5uv+v-u^3=0$ - имеет нулевой ранг.

gp > ellanalyticrank(ellinit([5,0,1,0,0]))[1]
%1 = 0.

Значит, на ней нет рациональных точек бесконечного порядка.
Находим точки конечного порядка.

E := EllipticCurve([5,0,1,0,0]);
E;
G, h := TorsionSubgroup(E);
torsion_pts_E := [ h(g) : g in G ];
torsion_pts_E;

Результат:

Elliptic Curve defined by v^2 + 5*v*u + v = u^3 over Rational Field
[ (0 : 1 : 0), (-2 : 8 : 1), (0 : -1 : 1), (-1/4 : 1/8 : 1), (0 : 0 : 1), (-2 : 1 : 1) ]

Отсюда, учитывая, что $\dfrac{x}{z},\dfrac{y}{z}=-u,-\dfrac{v}{u}$
в точности получаем тройки gris для $x,y,z$ - это $(2,4,1),(1,2,4),(4,1,2)$, которые можно умножать на любое рациональное число.
Вообще на кривой $(2)$ всегда имеются три дежурные рациональные точки конечного порядка при любом рациональном $N$. Это $\infty,(0,0),(0,-1)$.
Но они не дают решений для исходного уравнения с $x,y,z$
Для целых значений $N$ только при $N=5$ и $N=-1$ число рациональных точек конечного порядка отлично от 3 и равно 6.
При не целых $N$ ситуация меняется. Например, при $N=1/6$ число рациональных точек конечного порядка равно 9.
Но это уже другая тема.

[maxal]

scwec в сообщении #1187717 писал(а):

Найдите все рациональные решения уравнения $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=N$

Вот здесь разбирается вопрос о решении в целых числах.
См. также раздел 6.3 в статье Elliptic Curves in Recreational Number Theory.

[scwec]

maxal, спасибо за внимание.
К сожалению, для "здесь" Интернет-ресурс закрыт.
А обзорная статья Elliptic Curves in Recreational Number Theory Аллана Маклеода очень полезна.
Он у меня всегда вызывал симпатию.
Еще раз спасибо.

[Skyfall]

scwec
Наверное, вот эта статья недоступна.

[scwec]

Да, спасибо, она. Со ссылкой уже разобрался.