2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с биномиальными коэффициентами
Сообщение04.02.2017, 17:18 


02/07/11
59
Доброго времени суток!

Встречал ли кто-нибудь неравенство такого рода?
$$\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\left(\binom{A-1}{x-1}+\binom{B-1}{y-1}\right)\leqslant\frac{1}{2}\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\binom{A}{x}\binom{B}{y},$$
где $A,B$ - произвольные натуральные числа, а $\mathcal{D}$ - некоторое непустое множество, ограничивающее каким-то образом $x$ и $y$ сверху.

Может быть у кого-то будут идеи по доказательству?

Если предположить, что область суммирование терпит разделение переменных, то всё доказывается довольно просто, путём почти прямого вычисления.

Также, если доказать, что
$$\sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\binom{A}{x}\binom{B}{y} \geqslant \sum_{(x,y)\in\mathcal{D}}\left(\binom{A}{x}+\binom{B}{y}\right),$$
то дальше всё тоже легко доказывается.

Интуитивно ясно, что произведение натуральных чисел всегда больше их суммы, если оба числа больше единицы. Однако, после аккуратного выписывания, становится понятно, что поточечной оценки недостаточно: вылезают отрицательные слагаемые, типа мощности $\mathcal{D}.$
Я предполагаю, что тут можно как-то воспользоваться быстрым ростом коэффициентов, но как именно..?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с биномиальными коэффициентами
Сообщение04.02.2017, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Math_er
Попытайтесь для начала посчитать руками на простых примерах. Скажем, $A=B=2, {\mathcal D}=\{(2;2)\}$.

-- 04.02.2017, 18:49 --

Math_er в сообщении #1189725 писал(а):
вылезают отрицательные слагаемые, типа мощности $\mathcal{D}.$
А, я не обратил внимания. Вы здесь работаете с множествами отрицательных мощностей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с биномиальными коэффициентами
Сообщение04.02.2017, 19:12 


02/07/11
59
grizzly
Придётся формулировать подробнее:
$\mathcal{D}$ - множество всех пар $(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2,$ которые удовлетворяют неравенству $$\frac{x}{A}+\frac{y}{B}\leqslant\alpha,$$
где $\alpha\in(0,1]$ - постоянная.

Мощность, конечно, положительна, а вот знак перед ней отрицательный.

У меня появилось подозрение, что это всё выполняется лишь при достаточно больших $A$ и $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с биномиальными коэффициентами
Сообщение04.02.2017, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Math_er в сообщении #1189756 писал(а):
У меня появилось подозрение, что это всё выполняется лишь при достаточно больших $A$ и $B$.
Попытайтесь воспользоваться тождеством:
$${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$
Может, Вам его хватит для всех подходящих $\mathcal D$?
Math_er в сообщении #1189756 писал(а):
Мощность, конечно, положительна, а вот знак перед ней отрицательный.
У нас на форуме есть раздел загадок и развлечений. Вам туда :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group