Complete quadrilateral and equal angles

[ins-]

Let $ABCDEF$ is a complete quadrilateral and $M$ is the intersection point of the ray $AC$ and the segment $EF$. $P$ is the foot of the perpendicular from $M$ to $BD$. Prove that $\angle{EPM}=\angle{FPM}$.

[ugarovIvan]

В (собственном) переводе на Русский (для форумчан не знакомых с Английским):

В данном полном четырёхстороннике $ABCDEF$ луч $AC$ пересекает отрезок $EF$ в точке $M$, проекцией которой на отрезок $BD$ является точка $P$:

Доказать: $\angle EPM = \angle FPM$

[DeBill]

Пусть $A_1,E_1, F_1$ проекции точек $A,E,F$ на прямую $PM$.
Поместим в точки $A, E, F$ массы $1,p,q$ так, что центр масс пары $A,E$ есть $D$, а пары $A,F$ есть $B$ . Тогда
$AD:DE = p:1 = A_1P: PE_1, AB:BF = q:1 = A_1P:PF_1 $, так что
$PE_1: PF_1 = q:p$. $(1)$
Но центр масс всей системы совпадает с $C$, (ибо лежит на прямых $EB,FD, AM$), так что $EM:MF = q:p$ .
Из подобия прям. тр-ков $EME_1$ и $FMF_1$ имеем тада $EE_1:FF_1 = q:p$. Учитывая $(1)$, получим:
прямоугольные тр-ки $PEE_1$ и $PFF_1$ подобны, и соответствующие углы равны.

[ins-]

Thank you for the translation, picture and solution! I hope you like the problem. I created it seeing some similar problems.

[Sergic Primazon]

$l \perp n \ , \ n \parallel k \ , \ m \perp \Omega1\ , \ \Omega1 \perp \Omega 2$

$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$

[ins-]

Sergic Primazon ,

Your approach looks very interesting and similar solutions doesn't appear frequently.

Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

[Sergic Primazon]

ins- в сообщении #1190256 писал(а):

Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

Look here.

[ins-]

I missed the moment $m$ is perpendicular to one of the planes by construction.
From the new document is not clear to me why $f_1 || e_1$ and why from the equality
$\angle E_1P_1D_1 = \angle F_1P_1B_1$ follows $\angle EPD = \angle FPB$.