верна ли эвивалетность

[ShMaxG]

Скажите пожалуйста, верно ли, что

\[ x^{\frac{1} {n}} \sim 1 - \frac{1} {{n^2 }},n \to \infty \]

при

\[ x^{\frac{1} {n}} \geqslant 0,1 - \frac{1} {{n^2 }} > 0,\exists h_n (x):x^{\frac{1} {n}} = h_n (x)\left( {1 - \frac{1} {{n^2 }}} \right),h_n (x) = 1 \]

и

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } h_n (x) = 1 \]

[Henrylee]

Может я не вкурил вопроса, но не вижу ничего сложного в нахождении предела

$$ \frac{x^{\frac1n}} {1 - \frac{1}{{n^2}}},n \to \infty $$

В этом смысле да, эквивалентносьт есть. Только зачем она такая нужна?
Или я чо-то не так понял?

[bot]

Формально всё правильно. Функции $f(x), \ g(x)$ называются эквивалентными при $x \to x_0$, если

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

. В качестве $x_0$ может быть символ бесконечности. В данном случае вместо $\frac{1}{n^2}$ можно брать любую бесконечно малую.

Henrylee писал(а):

Только зачем она такая нужна?

Угу - обычно сравнивают бесконечно большие или бесконечно малые, а зачем сравнивать две функции имеющие конечные ненулевые пределы?

[TOTAL]

\[ x^{\frac{1} {n}} \sim 1 - \frac{1} {{n^2 }} \]

Думаю, утверждается, что величины справа и слева отличаются на величини более высокого порядка малости по сравнению с

\[ \frac{1}{{n^2 }}\]

.
При $h_n (x) = 1$ это верно, а при $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } h_n (x) = 1$ это, вообще говоря, неверно.

[Henrylee]

насколько я понимаю,

$$ x^{1/n}-1-\frac1n\ln x-\frac1{2n^2}\ln^2 x=O(1/n^3) $$

а условия $h_n(x)=1$ я вообще не понял..

[bot]

Дык, если речь идёт об оценке разности, то она очевидно первого порядка малости относительно $t=1/n$:
$x^t-1=\frac{t\ln x}{1!} + \frac{(t\ln x)^2}{2!}+...$

[TOTAL]

Пусть скажет, какие величины считаются в данном случае эквивалентными.
И что такое $h_n(x)$. (Оно входит в условие или в попытку решить задачу.)