Простая задачка по квантовой механике

[amon]

Founder_Q в сообщении #1189201 писал(а):

Классика: Время соударения - ноль при конечном импульсе передачи (от молотка - частице) -означает бесконечную силу в правой части уравнения Ньютона - динамический метод здесь не подходит.

То есть Вы не знаете, как записать классическое уравнение для идеального удара. Я Вам подскажу.

$$m\ddot{x}=a\delta(t-t_0),$$

Теперь попробуйте написать уравнение Шредингера для такой же задачи.

[Founder_Q]

Некоторые участники приводят здесь, как аргумент, решения различных стационарных квантовомеханических задач (для пространственной части волновой функции) с ненулевой первой производной на границе, НО НЕ ПО ВРЕМЕНИ, а ПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КООРДИНАТЕ (!) - хочу заметить, что это не имеет отношения к рассматриваемому случаю "мгновенного" скачка гамильтониана. Т.к. сама постановка стационарной задачи - предполагает, как минимум, наличие хорошо определенного (не важно дискретного или непрерывного) спектра собственных значений рассматриваемого гамильтониана, а в данном случае, на интервале скачка гамильтониана такой спектр собственных значений в принципе не определен.

К тому же, если говорить о том, может ли волновая функция иметь излом как функция времени (т.е. иметь скачок своей первой производной по этому аргументу ) , то мы приходим к очень странной ситуации: в некий момент времени на амплитуде вероятности , как функции времени , на абсолютно гладкой функции - вдруг внезапно образуется острый излом (это на функции , которая носит вероятностный смысл, а значит, вообще - не "смазана" флуктуациями только асимптотически, при достаточно большой статистической выборке) и затем, этот излом - также быстро "рассасывается". Вдумайтесь, чисто качественно в этот процесс, вам не кажется эта ситуация очень странной и нефизической? - за счет чего, за счет какого экзотического внешнего возмущения может осуществиться такая экзотическая эволюция амплитуды вероятности ? может быть вы знаете конкретные примеры такой временной эволюции? -тогда интересно увидеть.

-- 02.02.2017, 03:01 --

Уважаемый amon, уравнение:

amon в сообщении #1189203 писал(а):

$$m\ddot{x}=a\delta(t-t_0),$$

которое Вы записали - совсем не противоречит тому что я Вам ранее написал, а, напротив, просто тривиально сводится к моим словам.
Интегрированием по времени Вы тривиально получите из него просто закон сохранения импульса. и все. И Вы же не будете отрицать , что ДО интегрирования по времени, с дельта-функцией в правой части, Ваше уравнение - не определено при $t=t_0$.
Другими словами, то что Вы пишете - просто тривиально сводится к коротенькому абзацу моих слов, и мне даже не приходится специально для этого писать соответствующие формулы.

[amon]

amon в сообщении #1189203 писал(а):

Теперь попробуйте написать уравнение Шредингера для такой же задачи.

[Aritaborian]

Founder_Q в сообщении #1189204 писал(а):

Другими словами, то что Вы пишете - просто тривиально сводится к коротенькому абзацу моих слов, и мне даже не приходится специально для этого писать соответствующие формулы.

Классический пример демагогии, ну хоть в цитатник заноси.

[madschumacher]

Founder_Q в сообщении #1189204 писал(а):

НО НЕ ПО ВРЕМЕНИ, а ПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КООРДИНАТЕ (!)

Пожалуйста, не обижайтесь. Всё очень просто. В сказке обман. Солнечный остров скрылся в туман...
У Вас имелись некоторые ультимативные заявления, которые свободно можно интерпретировать как общие требования к волновым функциям, без конкретизации о какой координате идёт речь.

(пример ультимативного заявления)

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

ЛЮБЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ, КАК РЕШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (Шредингера) – ВСЕГДА ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ , (т.е. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ – НЕ МОГУТ ИМЕТЬ НИ СКАЧКОВ , НИ ИЗЛОМОВ, поскольку они имеют вероятностный смысл.

(почему так происходит)

имхо, происходит это из-за Вашего сильного словесного поноса неумения кратко выражать свои мысли избыточного стиля письменной речи...

Собственно, эти модельные задачи Вам и приводят как тривиальные контрпримеры к этим некоторым Вашим высказываниям.

[Red_Herring]

Founder_Q в сообщении #1189204 писал(а):

может быть вы знаете конкретные примеры такой временной эволюции? -тогда интересно увидеть.

Ну например

$$\psi(x,t)= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ik x +ik^2t}}{k^2+1}\,dk.$$

При $t=0$ легко вычисляется методом ТФКП : $\psi(x,0)=C e^{-|x|}$. При любом $t\ne 0$ решение гладкое, зато сильно осциллирующее на бесконечности

$$\psi(x,t)\sim \pm D\frac{e^{-ix^2/4t}|t|^{3/2}}{x^2+t^2} .$$

И вот это неважное поведение на бесконечности по $x$ в прошлом отвечает за то, что при $t=0$ решение стало негладким, а потом негладкость снова сбежала на бесконечность.

А теперь, поскольку это в теме ДТ(Ф) извольте отвечать на заданный вам вопрос

Red_Herring в сообщении #1189193 писал(а):

Многоуважаемый Founder_Q,
Пожалуйста, сообщите нам, в какой монографии или каком учебнике Вы вычитали, что волновая функция должна быть хотя бы непрерывной? Если мне не изменяет память, априори она принадлежит $L^2$ и не более того. Может быть это новое слово в науке?

[amon]

Founder_Q в сообщении #1189204 писал(а):

Вы тривиально получите из него просто закон сохранения импульса.

И это место, если можно, по-подробнее, только не словами, а формулами. Выведите пожалуйста "закон сохранения импульса" из уравнения $m\ddot{x}=a\delta(t-t_0)$.

[Founder_Q]

amon, а теперь отвечайте, пожалуйста, Вы на вопрос: Пусть $t_1<<t_0<<t_2$, тогда, после интегрирования вашего уравнения по времени в пределах от $t_1$ $t_2$, получим:

$m\dot{x}(t_2)=2\pi a+m\dot{x}(t_1)$.

- Каков, по-вашему, физический смысл этого выражения в вашей задаче?

Red_Herring в сообщении #1189214 писал(а):

Ну например

$$\psi(x,t)= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ik x +ik^2t}}{k^2+1}\,dk.$$

- Насколько я вижу, это Вы написали просто волновую функцию для прошедшего через туннельный барьер (при $x=0$ и $t=0$) нерелятивистского (с квадратичным законом дисперсии) волнового пакета, описывающего свободную нерелятивистскую частицу , прилетевшую с бесконечности и рассеявшуюся резонансным образом на этом барьере (ф-лы Брейта-Вигнера). И Вы еще потом этот процесс резонансного рассеяния дополнительно описываете словесно примерно так:

Red_Herring в сообщении #1189214 писал(а):

И вот это неважное поведение на бесконечности по $x$ в прошлом отвечает за то, что при $t=0$ решение стало негладким, а потом негладкость снова сбежала на бесконечность.

- Так в чем ваш вопрос? - Ваше решение в момент $t=0$ было "негладким" только по $x$ , что просто соответствует тому моменту времени , когда ваша частица была "под барьером" . Дальше Вы пишете, что

Red_Herring в сообщении #1189214 писал(а):

При любом $t\ne 0$ решение гладкое, зато сильно осциллирующее на бесконечности

- И что же из этого должно следовать? - Мы ведь здесь говорим о "негладкости" по $t$ , а не по $x$. -Вы, что же, точно знаете, как именно ваше , заметьте, приближенное решение при $t\ne 0$ -будет переходить в "негладкое" по $x$ решение при $t=0$, "гладким", или "негладким" образом по времени?

- Ведь по меньшей мере одно из ваших решений Вы знаете только приближенно. По-моему, в данном случае, нет никаких оснований считать, что одно приведенное вами решение - переходит в другое приведенное вами решение - каким-то "негладким" по времени образом.
К тому же , видно, что ваше приближенное решение при $t \to 0$ ($t \ne 0$), будет испытывать колоссальной частоты осцилляции на всей оси $x\in (-\infty;\infty)$, так что, по-видимому, вашу "негладкость" волновой функции по $x$ в момент $t=0$ - следует трактовать просто, как следствие "сшивки" (или наложения) в этот момент времени различных "резонансных" гармоник огромной частоты с максимумом при$x=0$, а не как следствие какой-то "скачкообразной" (или "изломообразной") эволюции вашей волновой функции в те моменты времени,когда : $t \to 0$ .

Что же касается общих причин того, почему негладкая эволюция волновой функции во времени - невозможна, то я думаю, (кроме того, что это и так интуитивно понятно), что главная причина тут одна и она физическая, а не математическая:

Любые "скачкообразные во времени" изменения вероятностных характеристик квантовой системы : вероятностей, плотностей вероятности, амплитуд вероятности, их производных всех порядков - являются прежде всего характерными чертами явления мгновенного коллапса волновой функции в результате некоторого проективного измерения квантовой системы "макроскопическим" прибором. А подобные явления , априори, не могут быть описаны аппаратом квантовой механики в терминах унитарной квантово-механической эволюции. Поэтому пытаться найти "точный" оператор "непрерывной" унитарной эволюции квантовой системы в условиях мгновенного изменения со временем ее гамильтониана - большая глупость концептуально.

[amon]

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

$m\dot{x}(t_2)=2\pi a+m\dot{x}(t_1)$. - Каков, по-вашему, физический смысл этого выражения в вашей задаче?

Если зачеркнуть множитель $2\pi$, показывающий, что Вы не в ладах с $\delta$-функциями, то это означает, что в результате удара скорость изменилась на величину $\Delta v=\frac{a}{m}$, что говорит о том, что о сохранении импульса можно рассуждать только в Пиквикском смысле.

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1189204 писал(а):

НО НЕ ПО ВРЕМЕНИ, а ПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КООРДИНАТЕ (!)

А в чём принципиальная разница с точки зрения непрерывности? По каким переменным у потенциала есть разрывы, по таким мы и теряем гладкость решения соответствующего порядка.

[warlock66613]

Просто хочу подчеркнуть, что на периодически возникающий крик о физическом смысле уже был дан исчерывающий ответ:

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

эта трактовка согласуется с любой регуляризацией, при которой $t_0$ превращается в маленький интервал, на котором гамильтониан плавно меняется от одного значения до другого.

-- 02.02.2017, 11:13 --

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

Любые "скачкообразные во времени" изменения вероятностных характеристик квантовой системы : вероятностей, плотностей вероятности, амплитуд вероятности, их производных всех порядков - являются прежде всего характерными чертами явления мгновенного коллапса волновой функции в результате некоторого проективного измерения квантовой системы "макроскопическим" прибором.

Это же неправда, совсем не любые. Было бы на самом деле прекрасно, если бы можно было описать коллапс гамильтонианом специального вида, однако же приходится вводить проективные операторы или переходить от гамильтониана к лиувиллиану.

[Pphantom]

Founder_Q, напоминаю Вам, что ответы на заданные Вам вопросы обязательны. Отвечать вопросом на вопрос не следует. Настоятельно рекомендую в очередном сообщении заняться ответами.

[Red_Herring]

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

заметьте, приближенное решение

Замечу, что решение, данное интегралом, точное. Приближенными являются только асимптотики при $x\to \inft$y и[ math]$ t\ne 0$[/math].

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

Мы ведь здесь говорим о "негладкости" по $t$ , а не по $x$

Если мы рассматриваем решение $i\psi_t=\psi_{xx}$, то его решения
1) Бесконечно гладкие по $t$, но со значениями в пространстве обобщенных функций по $x$
2) И наоборот

Если же говорить о решениях $i\psi_t=\psi_{xx}-V(t)\psi$, с негладким, а то и разрывным по $t$ потенциалом, то и этого не будет.

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

. Поэтому пытаться найти "точный" оператор "непрерывной" унитарной эволюции квантовой системы в условиях мгновенного изменения со временем ее гамильтониана - большая глупость концептуально.

С концепциями--идите в ... философию.

[pvp]

Я полагаю, что вопрос можно ставить не о наличии изломов волновой функции, а о том, можно ли считать, что выполняется следующее равенство для эволюции системы:

$\lim\limits_{\delta t \rightarrow 0 } U(t_0 + \delta t; t_0 - \delta t) = \mathbb{I}$

Я считаю, что оно имеет место быть даже в том случае, когда в момент времени $t_0$ происходит тот самый скачок гамильтониана (разумеется, если у нас в этой точке $t_0$нет никакой дельта-функции, а ее по условиям задачи нет). Объяснение уже тут было написано выше ( post1188620.html#p1188620 ).

И было бы здорово определиться: мы говорим о математической задаче решения дифференциального уравнения с начальным условием? Если да, то вообще странно при этом браковать решение на основе "физических соображений". По крайне мере до того, как мы вообще поймем для себя - является ли это решение правильным чисто математически.

[Founder_Q]

Итак, кратко и по порядку:

amon в сообщении #1189226 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

$m\dot{x}(t_2)=2\pi a+m\dot{x}(t_1)$. - Каков, по-вашему, физический смысл этого выражения в вашей задаче?

Если зачеркнуть множитель $2\pi$, показывающий, что Вы не в ладах с $\delta$-функциями, то это означает, что в результате удара скорость изменилась на величину $\Delta v=\frac{a}{m}$, что говорит о том, что о сохранении импульса можно рассуждать только в Пиквикском смысле.

- Если Вы не в курсе, $2\pi$ - это нормировочный множитель, его наличие или отсутствие в этом выражении - связано с выбранной нормировкой дельта-функции, в физике очень часто выбирают нормировку при которой: $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\delta(t-t_0)dt=1$ , в этом случае интегрируя ваше же уравнение по времени, получим этот множитель $2\pi$, который, разумеется, может быть включен в определение константы $a$ - в таком случае этого множителя там не будет, это совершенно не принципиально. Далее, дайте определение всем физическим величинам входящим в уравнение:$m\dot{x}(t_2)=2\pi a+m\dot{x}(t_1)$ и затем, поведайте нам всем, какой по-вашему физический смысл имеет уравнение, связывающее эти физические величины.

{Справка: Амон - божество в древнеегипетской мифологии, изображался в виде человека с головой барана.}

g______d в сообщении #1189232 писал(а):

А в чём принципиальная разница с точки зрения непрерывности? По каким переменным у потенциала есть разрывы, по таким мы и теряем гладкость решения соответствующего порядка.

- Вообще-то нестационарное уравнение Шредингера с ненулевым потенциалом - неинвариантно относительно замены: $x\to t$ , $t \to x$. Поэтому изломы на пространственной части волновой функции - сами по себе отнюдь не легитимизируют наличие таких же изломов во временной эволюции данной волновой функции.

Математически, разница между этими ситуациями (с гладкостью по пространственной или по временной переменной) состоит , по-видимому, в следующем:

-Рассмотрим вначале потенциал, не зависящий явно от времени: Тогда, при решении нестационарного уравнения Шредингера, как дифференциального уравнения в частных производных, методом разделения переменных - сначала отделяют временную часть и , тем самым, вводят в рассмотрение собственные значения энергии системы от которых , как от параметра , зависят решения для пространственной части волновой функции . Дальше пространственная симметрия системы (т.е. ,по сути, та или иная пространственная симметрия потенциала) - навязывает те или иные ограничения на спектр собственных значений данного гамильтониана (в виде различных условий периодичности и/или граничных условий).

В результате, спектр собственных значений гамильтониана приобретает уже какой-то конкретный вид (дискретный, или непрерывный - если никаких особых условий нет - свободная частица в бесконечном пространстве) . В частности, в случае дискретного спектра, связанные с дискретными собственными значениями квантовые числа - задают порядок спец.функций, через которые выражается решение для пространственной части волновой функции и, в принципе, такие спец.функции от пространственной переменной - могут иметь какие-то особенности в виде изломов и пр. как тут уже некоторые писали).

Теперь рассмотрим случай потенциала, явно, ступенчатым образом зависящего от времени. И зададимся вопросом: можно ли, в принципе, для такого потенциала ТОЧНО разделить пространственные и временную переменные во всей временной области, включающей момент скачка?

-Иными словами, МОЖНО ЛИ, ДЛЯ ТАКОЙ СИСТЕМЫ, СФОРМУЛИРОВАТЬ ХОТЬ КАКУЮ-ТО ВМЕНЯЕМУЮ ЗАДАЧУ НА СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЧАСТИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ, КОТОРЫЕ БЫЛИ БЫ ОДНОЗНАЧНО ЗАДАНЫ НА ВРЕМЕННОМ ИНТЕРВАЛЕ СКАЧКА ПОТЕНЦИАЛА? - МОЙ ОТВЕТ: НЕТ.

-Поэтому я все время здесь пишу, что точное решение (в виде, скажем, оператора эволюции системы вне теории возмущений) для квантовомеханической задачи со скачкообразно зависящим от времени потенциалом произвольной величины - записать невозможно. (ведь в противном случае, т.е. при наличии такого точного решения - можно было бы описать процесс коллапса волновой функции в терминах некоторого оператора эволюции, что, конечно же, невозможно по самому определению того, что, и как именно, описывает математический аппарат квантовой механики ).

warlock66613 в сообщении #1189237 писал(а):

Просто хочу подчеркнуть, что на периодически возникающий крик о физическом смысле уже был дан исчерывающий ответ:

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

эта трактовка согласуется с любой регуляризацией, при которой $t_0$ превращается в маленький интервал, на котором гамильтониан плавно меняется от одного значения до другого.

-Причем здесь вообще эта цитата? -Я говорю о принципиальной неопределенности/неоднозначности точного решения данной задачи, и приведенная Вами цитата этому моему утверждению абсолютно не противоречит, т.к. регуляризацию скачка здесь можно выбирать миллионом разных способов и все они будут одинаково легитимны. Однако, дело здесь именно в том, что от конкретного вида этой регуляризации будет зависеть вид вклада в эволюцию от интервала скачка. А это в свою очередь, означает, что при большой "высоте" скачка, (т.е. вне теории возмущений по малой его высоте) когда основной вклад этого временного интервала в эволюцию уже нельзя "выкинуть" из оператора эволюции вместе с высшими порядками разложения Дайсона, - мы не можем уже утверждать , чему именно этот вклад будет равен: выражению $\exp\left\lbrace-ib(t_1-t_0)\right\rbrace$ - как писал тут один из участников, или чему-то еще (на самом деле, этот вклад может быть в общем случае вообще равен чему угодно).

warlock66613 в [url=http://dxdy.ru/post1189237.html#p1189237]]
..Было бы на самом деле прекрасно, если бы можно было описать коллапс гамильтонианом специального вида, однако же приходится вводить проективные операторы или переходить от гамильтониана к лиувиллиану.[/quote]

- Вы вообще внимательно читаете мои посты? - я , к Вашему сведению , именно об этом и пишу.

Пойдем дальше:

[quote="Red_Herring в сообщении #1189260 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

заметьте, приближенное решение

Замечу, что решение, данное интегралом, точное.

.

- Что же Вы, "Red_Herring" -перевираете мои утверждения?! - Я что, где-то, что-то говорил о "неточности" вашего выражения с интегралом по $dk$? - Нет, я говорил , как раз, об асимптотическом характере второго вашего выражения:

Red_Herring в сообщении #1189260 писал(а):

Приближенными являются только асимптотики при $x\to \inft$y и[ math]$ t\ne 0$[/math]

-с чем Вы, оказывается, согласны.

Red_Herring в сообщении #1189260 писал(а):

Если же говорить о решениях $i\psi_t=\psi_{xx}-V(t)\psi$, с негладким, а то и разрывным по $t$ потенциалом, то и этого не будет...

- Чего "этого"? - Точного решения задачи? - тогда, ура, Вы , наконец-то, правильно догадались ! - Я тут этот факт уже давно всем втолковываю..

Red_Herring в сообщении #1189260 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1189224 писал(а):

. Поэтому пытаться найти "точный" оператор "непрерывной" унитарной эволюции квантовой системы в условиях мгновенного изменения со временем ее гамильтониана - большая глупость концептуально.

С концепциями--идите в ... философию.

- Так Вы, уважаемый, что же, учиться не любите?)) -Вы, что же, верите в возможность "точного" описания проективных измерений с помощью оператора эволюции? - Вы, выходит, вообще теоретической физики не знаете? - Вам, что же, не известно, что теоретическая физика - есть просто форма философии, оперирующая формулами, вместо словесных утверждений? - Печально.

Теперь дальше:

pvp в сообщении #1189292 писал(а):

Я полагаю, что вопрос можно ставить не о наличии изломов волновой функции, а о том, можно ли считать, что выполняется следующее равенство для эволюции системы:

$\lim\limits_{\delta t \rightarrow 0 } U(t_0 + \delta t; t_0 - \delta t) = \mathbb{I}$

- Не прошло и полгода, как pvp примерно догадался о чем я говорю. (Замечу, однако, что вопрос о физической непротиворечивости наличия изломов на временной зависимости волновой функции, как раз очень важен, и прятать его под ковер негоже.) -Но, так, или иначе, в любом случае, pvp, Вам теперь - вот сюда (и подумайте хорошенько над тем , что ниже написано - это касается также всех остальных участников этой дискуссии):

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

-Если разобрать этот вопрос конкретнее, то ответ на него будет таким (см. также мои предыдущие посты на эту тему):

- Любой оператор эволюции можно представить в виде Dyson series, где порядок $n$ каждого члена такого разложения - соответствует количеству $n$ "вложенных" (Т-упорядоченных) временных интегрирований вида: $\int\limits_{0}^{t'}dt''$ в этом члене разложения. Тогда можно сказать (см. также ниже в этом посте и мои предыдущие посты), что для $n=1$ - Ваше утверждение действительно верно, независимо от конкретного вида функции на интервале: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$, т.к. абсолютный вклад этого "интервала неопределенности" в общий вклад члена с $n=1$, при любой конечной "высоте" скачка функции $B(t)$ на этом интервале, будет пропорционален: $\delta t \to 0$ - именно этот член первого порядка (наряду с членом нулевого порядка - единицей) будет давать основной вклад в оператор эволюции по теории возмущений , в случае малости подынтегрального выражения (т.е. в случае малости "возмущения"$V(t)$), когда всеми высшими порядками с $n>1$ в разложении Дайсона можно пренебречь , по сравнению с $n=1$.

Именно поэтому я и писал в своих предыдущих постах , что решение pvp, является решением ТОЛЬКО ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ (т.е. ТОЛЬКО В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ :$(A-1)H_0<<H_0$, или, что то же самое, при: $(A-1)<<1$).(да и то, решением, неправильно записанным: не в виде разложения экспоненты с постоянным возмущением, а в виде самой экспоненты с несимметричной ступенчатой функцией $B(t)$ под интегралом, что явно нарушает необходимую time-reversal symmetry уравнения Шредингера на интервалах: $t<<t_0$ и $t<<t_0$).

В то же время, во всех случаях , когда высшие порядки в разложении Дайсона - важны, т.е. вне теории возмущений (когда, скажем: $(A-1)H_0 \geqslant H_0$), сколь бы малым не был интервал: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ неопределенности функции $B(t)$ за счет ее скачка, для него всегда можно показать , положив для определенности: $t=1$; $(A-1)\geqslant 1$; $\delta t=\frac{1}{k}$, ($k\to \infty$), что с ростом порядка разложения Дайсона $n$ (для $n>1$) абсолютный вклад области неопределенности функции $B(t)$ в член $n$-го порядка разложения Дайсона будет пропорционален: $\sim (n)^k \to \infty$, ($k\to \infty$)- т.е. для любого порядка разложения с $n \geqslant 2$ этот вклад может, вообще говоря, расходиться, поскольку нельзя говорить о каком-либо конкретном виде функциональной зависимости для функции $B(t)$ на интервале $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ ее скачка и соответственно этому мы не можем утверждать, что бесконечная сумма бесконечно больших , но полностью неопределенных вкладов - "сходится" к какому-то конечному пределу. При этом мы знаем, что суммарный вклад всех других областей интегрирования по времени (т.е. всех остальных областей, где функция $B(t)$-вполне определена, вместе со всеми своими производными ) в сумме бесконечного числа членов разложения Дайсона - сходится к вполне конечному пределу вида: $\exp\left\lbrace-i (A-1)H_0(t-t_1)-iH_0t_0\right\rbrace$. Но тогда, МЫ НЕ МОЖЕМ ГАРАНТИРОВАТЬ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ $B(t)$, ЧТО полный вклад от всех областей ее временного интегрирования , равный: "$\exp\left\lbrace-i (A-1)H_0(t-t_1)-iH_0t_0\right\rbrace +\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left\lbrace UNCERTAINTY\right\rbrace^k$ - (т.е. иными словами, ВСЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Дайсона) -ТАКЖЕ БУДЕТ СХОДИТЬСЯ К КАКОМУ-ТО ОПРЕДЕЛЕННОМУ (КОНЕЧНОМУ) ПРЕДЕЛУ В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ $U(t;0)$- (т.е. к точному оператору эволюции квантовой системы).

Но это означает просто, что точный оператор эволюции любой квантовой системы со скачкообразной зависимостью гамильтониана от времени - полностью неопределен вне теории возмущений (когда "высота" этого скачка - малый параметр). - О чем я и писал выше.

Иначе говоря, в математике следует всегда очень четко понимать разницу между двумя выражениями со ступенчатой функцией $B(t)$:

$U(t;0)=1+(-i)H_0\int\limits_{0}^{t}B(t')dt'$

и

pvp в сообщении #1189044 писал(а):

$U(t) = 1 + (-i)\int_0^tdt'H(t') + (-i)^2\int_0^tdt'H(t')\int_0^{t'}dt''H(t'') + \dots = \\ =1 + (-i H_0)\int_0^tdt'B(t') + (-iH_0)^2\int_0^tdt'B(t')\int_0^{t'}dt''B(t'') + \dots $

- В первом выражении результат интегрирования очевиден и никак не зависит от области скачка подынтегральной функции, во втором случае , выписанный здесь ряд Дайсона с бесконечным числом степеней ступенчатой функции $B(t)$ под интегралами - вообще невозможно просуммировать - как в силу уже мной сказанного выше, так и в силу, например, того, что в этом случае, НА ИНТЕРВАЛЕ СКАЧКА: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$, во всех порядках разложения, НЕЛЬЗЯ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО: $\int_{0}^{\delta t}dt'B(t')\int_0^{t'}dt''B(t'')$ - БУДЕТ РАВНО: $\frac{1}{2}\int_{0}^{\delta t}dt'B(t')\int_0^{\delta t}dt''B(t'')$ т.к. МЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЕМ О СВОЙСТВАХ СИММЕТРИИ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ $B(t)$ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ НА ИНТЕРВАЛЕ СКАЧКА ЭТОЙ ФУНКЦИИ.

И, таким образом, из всего сказанного следует, что, вне теории возмущений по $(A-1)<<1$, нам ничего не может быть известно о том, сойдется ли бесконечный ряд Дайсона на интервале скачка $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ к аналитическому выражению вида: $\exp\left\lbrace-iH_0\int\limits_{0}^{\delta t}B(t')dt'\right\rbrace \to 1$, как это утверждает pvp.

P.S. Кстати, пользуясь случаем, довожу до сведения всех участников, что данный пост - это мой финальный пост в этой дискуссии вообще. -Мне стало здесь скучно, из-за низкого профессионального уровня вступающих здесь со мной в полемику участников. Действительно важные, тонкие теор.физические аргументы в этой аудитории , как выяснилось, обсуждать вообще не имеет смысла. - Они остаются неуслышанными..Как когда-то говаривал Ландау: "Теоретическая физика - это сложная наука и не всем дано ее понимать.." - я вижу, что это высказывание в полном объеме относится к "жителям" этого форума.. Эх, а ведь была когда-то в совке знаменитая "Школа Ландау"! - Куда что делось теперь? - Как будто никогда ничего и не было, дремучесть какая-то.. Поэтому я , в одностороннем порядке, сворачиваю свою просветительскую деятельность на этой "сиятельной площадке глубокомысленных дискуссий". Вам же, участники, остаются мои посты. Думайте, обсуждайте, учитесь.. может, что-нибудь дельное у вас из всего этого и выйдет.. со временем.. Всем пока.