Простая задачка по квантовой механике

[Munin]

Ух как! Теперь у нас научные вопросы решаются криком? :-)

[madschumacher]

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

Пришлось мне начать восстанавливать справедливость, хотя уже все это надоело, если честно..

Что-то Вы, ув. Founder_Q, как-то хреново справедливость восстанавливаете.

В случае, если кто-то в научном сообществе не согласен с результатами некоторой опубликованной статьи, то он просто пишет маленькую статью-комментарий на неё (называют подобные статьи как "комментарий на статью ... таких-то авторов, и выходные данные статьи"). В этой работе он тыкает указывает на ошибки и огрехи, сделанные в обсуждаемой работе, и (если может) приводит правильный результат. После, он посылает эту статью в тот же журнал, где она проходит стандартную процедуру peer review и в итоге публикуется в журнале. В особо запущенных случаях, можно добиться даже отзыва изначальной статьи...
Пример описанного выше: оригинальная статья и комментарий к ней.

Вы же вместо этого пишете полотна ( ) на форуме ( ), да такие, что их объём существенно превосходит размер необходимого типа статей... А сил, потраченных Вами на их написание, наверняка хватило бы на парочку таких комментариев в журнале.

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

ЛЮБЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ, КАК РЕШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (Шредингера) – ВСЕГДА ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ , (т.е. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ – НЕ МОГУТ ИМЕТЬ НИ СКАЧКОВ , НИ ИЗЛОМОВ,

Вам бы тогда посмотреть на дифференцируемость волновых функций хотя бы в случае знаменитой "частицы в бесконечном ящике" (т.е. с потенциалом $V(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \in (-a; a)$;}\\ \infty, & \text{если $x \in (-\infty; -a] \cup [a, \infty) $.}\\ \end{cases}$ ) на границах ящика (т.е. при $x=\pm a$). Ну или возьмите произвольную задачу с кусочным потенциалом и посмотрите на то, как ведёт себя волновая функция в точках разрыва потенциала.

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1189164 писал(а):

как-то хреново справедливость восстанавливаете

Какая справедливость, так и восстанавливает.

[Founder_Q]

- Ну что тут можно еще сказать? - Писал я это все для аудитории, т.е. для Вас, ув. участники форума. Цель - просвещение аудитории и конструктивная критика/диалог. Судя по feedback на мои посты, ни того, ни другого, пока что, практически нет. Кроме того, хотелось прояснить для вас некоторые тонкие моменты, которые автор задачи, pvp - либо не понимает, либо сознательно "прячет под ковер". В итоге , pvp "продает" вам свои псевдонаучные измышления, содержащие просто неграмотные математические утверждения (на которые я также указал), вместо объективного анализа ситуации, который я тут провел.

Отвечая madschumacher: Никакую статью на эту тему я писать (пока) не планирую, слишком хлопотно, нудно и затратно по времени (напр. нужно будет нудно доказывать "нужность" такой публикации еще и для редакции, ведь такая статья - будет ударом и по их репутации). Кроме того, я считаю , что публиковать какую-либо статью-опровержение, не содержащую новых позитивных результатов - это несколько ущербная практика . Меня бы устроило, просто признание своих ошибок авторами этой статьи, т.к. все это на самом деле выросло из частной дискуссии с pvp по упомянутой статье, из-за его нежелания признавать очевидные вещи, и в т.ч. свои ошибки. Данный форум - просто еще одна публичная платформа для этой дискуссии.

Теперь, немного по сути некоторых последних реплик, по порядку:

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

Я не понимаю, к чему вы стремитесь.

- Уже объяснил выше. К научной объективности . Даже на этом форуме.

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

Свой уровень осведомлённости вы уже продемонстрировали (в сообщении, перенесённом в Пургаторий).

-Говоря об уровне осведомленности pvp, я не был голословен, мое утверждение было проиллюстрировано конкретными примерами (см.выше).

-Вам же, ув. g______d, даже если вы математик, (а если физик т о тем более), должно быть стыдно, что Вы не знаете того простого факта, что решения квантовомеханических задач, имеющие вероятностный смысл - должны представлять собой гладкие (или - что то же самое, непрерывно-дифференцируемые) функции . А вы писали мне в своем комментарии : ".. если потребовать непрерывность решения по времени, то единственным решением задачи будет указанное в первом посте.." - обращаю внимание всех участников: g______d здесь требует ТОЛЬКО непрерывность, а не непрерывную дифференцируемость решения и считает, что этого вполне достаточно для волновой функции! -Вы что же, g______d, где-нибудь видели волновые функции с "изломами" (т.е. НЕ непрерывно-дифференцирумые, со скачком первой производной)? - Покажите, если видели, и мы вместе посмеемся над этим. - И этот, с позволения сказать, "заслуженный комментатор" - еще посмел удалить мой пост, не понимая достаточно очевидных вещей из квантовой механики.

Далее, из той же оперы:

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

УШ с разрывной правой частью в принципе не может иметь непрерывно дифференцируемого решения в классическом смысле (поскольку утверждение о том, что производная решения разрывна, является частью уравнения).

- Совершенно верно, я об этом и пишу здесь все время. Именно поэтому , а также потому , что в задаче имеется в виду временная динамика квантовой системы, которая всегда - непрерывно-дифференцируемая (т.е. плавная) - существование точного решения этой задачи привело бы к противоречию: если бы точное решение существовало, оно, математически, не должно было бы быть непрерывно-дифференцируемым (как Вы правильно пишете), а с квантово-механической точки зрения - наоборот, оно должно быть "плавным" (т.е. непрерывно-дифференцируемым, без разрыва своей временной производной). Это противоречие и означает, как раз, что точного решения эта квантово-механическая задача не имеет. У нее есть только приближенное, по теории возмущений, решение , которое я указывал ( и которое, именно в силу своей приближенности, может быть непрерывно-дифференцируемым, как того требует квантовая механика).

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

С другой стороны, у этого уравнения есть каноническое и единственное решение в обобщенных функциях, которое и получается с помощью склеивания решений на двух интервалах с условием непрерывности. Это лучшее, что можно получить, решая это уравнение.

-Из написанного выше следует, что такое решение в обобщенных функциях - не имеет в данном случае никакого физического смысла. Кроме того, как быть с расходимостью неопределенности в разложении Дайсона (на которую я также указывал выше), вне теории возмущений? - Если Вы согласны с этой расходимостью, то Вы должны признать , что никакого (точного) "единственного решения в обобщенных функциях" для этой задачи не существует, а есть только бесконечный ряд Дайсона, который в этом случае (ступенчатой подынтегральной функции, с большой высотой скачка) -не сходится ни к какому конкретному пределу (т.е. - точное решение - не определено, как я и писал выше).

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

Разговоры о физическом смысле в данном случае нужно было проводить до того, как уравнение было написано.

- Ну это вообще не ко мне, это, как раз, к pvp. :))

g______d в сообщении #1189155 писал(а):

Знают. Если бы не знали, было бы 2 уравнения, при $t<t_0$ и при $t>t_0$, и тогда была бы неопределённость в граничных условиях при $t=t_0$ справа и слева.

- ?? А что разве этой неопределенности "в граничных условиях справа и слева" здесь нет? - Если так, то каким образом связаны между собой пределы функции $B(t)$ , при стремлении $t$ к $t_0$ "слева" (это $1$) и "справа" (это произвольное число $A$) ? - Если же, g______d, Вы имеете в виду, граничные условия на решения двух получившихся уравнений Шредингера с различными постоянными гамильтонианами, при $t=t_0$, то кто Вам дал право "сшивать" 2 разных решения , отделенных друг от друга временным интервалом (скачка) $\delta t=(t_1-t_0)$, на котором у системы даже гамильтониан не определен? - Куда Вы дели эволюцию системы на интервале скачка, равном $\delta t=(t_1-t_0)$?
- Перечитайте еще раз те места в моих постах, где я пишу о невозможности построить точный оператор эволюции квантовой системы в случае когда в ее временной эволюции имеют место квантовые скачки или какие-либо проективные измерения ее наблюдаемых.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: давайте-ка переедем сюда. Пока.

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1189182 писал(а):

обращаю внимание всех участников: g______d здесь требует ТОЛЬКО непрерывность, а не непрерывную дифференцируемость решения и считает, что этого вполне достаточно для волновой функции! -Вы что же, g______d, где-нибудь видели волновые функции с "изломами" (т.е. НЕ непрерывно-дифференцирумые, со скачком первой производной)? - Покажите, если видели, и мы вместе посмеемся над этим.

А вы не поленитесь, посчитайте частицу в ящике, как подсказывает madschumacher. Хоть с конечными стенками, хоть с бесконечными.

[Aritaborian]

Founder_Q в сообщении #1189182 писал(а):

Никакую статью на эту тему я писать (пока) не планирую, слишком хлопотно, нудно и затратно по времени

madschumacher в сообщении #1189164 писал(а):

Вы же вместо этого пишете полотна ( ) на форуме ( ), да такие, что их объём существенно превосходит размер необходимого типа статей

[Founder_Q]

madschumacher в сообщении #1189164 писал(а):

Вам бы тогда посмотреть на дифференцируемость волновых функций хотя бы в случае знаменитой частицы в потенциальном ящике... Ну или возьмите произвольную задачу с кусочным потенциалом и посмотрите на то, как ведёт себя волновая функция в точках разрыва потенциала.

-Во-первых, во всех этих случаях волновая функция - все же непрерывно-дифференцируема во всей области, где она определена (т.е. она непрерывна по координате и имеет непрерывную первую производную по координате во всей этой области): см. например, в google что-нибудь вроде: "Одномерный потенциал с точкой разрыва. Непрерывность логарифмической производной волновой функции". Если же Вы имеете в виду очень специальный случай бесконечно-высоких стенок потенциальной ямы (который не реализуется здесь), т.е. иными словами, случай "жестких" граничных условий (когда и волновая функция и ее производная по координате на стенках такой ямы равны нулю ), то и в этом случае, очевидно , волновая функция , все же, является непрерывно-дифференцируемой функцией координаты во всей своей области определения (т.е. в самой потенциальной яме).

Ну и наконец, всегда есть разница между "граничными" и "начальными" условиями: все ,что Вы упомянули, это стационарные (не зависящие от времени) квантово-механические задачи с определенными (стационарными же, т.е. никак не зависящими от времени) граничными условиями, т.е. для них можно найти спектр постоянных собственных значений и т.п. В данном же случае речь идет о задаче существенно нестационарной, когда, в точке скачка по времени ,не определены не "граничные", а именно начальные условия (для второго этапа эволюции системы после скачка гамильтониана). В данном случае, в интервале скачка гамильтониана, у него вообще не существует никаких определенных собственных значений, т.к. и сам гамильтониан на интервале своего скачка - не определен.

[amon]

Уважаемый Founder_Q, давайте возьмем такую, вполне осмысленную, задачку (для простоты - одномерную). Летела себе частица. В момент времени $t_0$ нехороший человек возьми, да и стукни по ней молотком. Напишите пожалуйста классическое уравнение Ньютона для такой задачи (удар идеальный, т.е. время соударения - ноль). А если с этим справитесь, то тоже самое для квантовой частицы. Только слов не надо, пишите формулы.

[Red_Herring]

Многоуважаемый Founder_Q,
Пожалуйста, сообщите нам, в какой монографии или каком учебнике Вы вычитали, что волновая функция должна быть хотя бы непрерывной? Если мне не изменяет память, априори она принадлежит $L^2$ и не более того. Может быть это новое слово в науке?

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1189190 писал(а):

-Во-первых, во всех этих случаях волновая функция - все же непрерывно-дифференцируема во всей области, где она определена (т.е. она непрерывна по координате и имеет непрерывную первую производную по координате во всей этой области):

Второй производной уже нет, а уравнение по $x$ второго порядка, поэтому не хватает и приходится точно так же склеивать (или решать в обобщённых функциях).

Ну и вообще, есть модель Кронига-Пенни (расчёска $\delta$-функций).

[madschumacher]

Founder_Q в сообщении #1189190 писал(а):

т.е. иными словами, случай "жестких" граничных условий (когда и волновая функция и ее производная по координате на стенках такой ямы равны нулю ),

А Вы не потрудитесь и посчитайте производную на стенке!

(спойлер)

у нас дифур 2-го порядка $\Rightarrow$ нужны 2 условия для задачи Коши. Мы берём в качестве их равенство в.ф. нулю на стенках (их 2), т.е. на производные мы не накладывали ограничения. Ну и когда считаем 1-ю производную, то она (внезапно!) не нулевая!!!

Founder_Q в сообщении #1189190 писал(а):

во всей своей области определения (т.е. в самой потенциальной яме)

Ну щас!! У в.ф. в этом случае область определения, насколько я помню, $\mathbb{R}$ Просто за пределами ямы $\psi = 0$, поэтому и не интересно о ней говорить.

[Aritaborian]

madschumacher в сообщении #1189197 писал(а):

А Вы не потрудитесь и посчитайте производную на стенке!

madschumacher, за что вы его так. Пусть сначала посчитает производную за столом, сидя в удобном кресле. На стенке знаете, как неудобно писать. Тем более на шведской.

[Founder_Q]

amon в сообщении #1189191 писал(а):

Летела себе частица. В момент времени $t_0$ нехороший человек возьми, да и стукни по ней молотком. Напишите пожалуйста классическое уравнение Ньютона для такой задачи (удар идеальный, т.е. время соударения - ноль)..

- Классика: Время соударения - ноль при конечном импульсе передачи (от молотка - частице) -означает бесконечную силу в правой части уравнения Ньютона - динамический метод здесь не подходит. Как решать: пишете два закона сохранения: энергии и импульса - зная начальные условия (импульс частицы и импульс молотка в начале всей истории) - получим то, что будет в конце ) Детали динамики (т.е. самого процесса передачи импульса от молотка - частице) здесь не могут быть найдены, вследствие бесконечно малого времени соударения (да эти детали и не важны в данном случае)

amon в сообщении #1189191 писал(а):

.. то тоже самое для квантовой частицы...

?? В смысле: классическое уравнение Ньютона для квантовой частицы? Вы ничего не путаете, уважаемый? )))


- Квантовый аналог: Квантовым аналогом этой классической задачи являются всевозможные задачи рассеяния: пишется нестационарное уравнение Шредингера с интересующим исследователя потенциалом, на его решение (волновую функцию) накладываются граничные условия на бесконечности (обычно это плоские волны в асимптотике); дальше, по теории возмущений, (как и в рассматриваемом случае малого скачка потенциала) , рассматривая потенциал рассеяния как малое возмущение свободного гамильтониана, находятся эффективные коэффициенты отражения и прохождения падающих волн (собственных функций свободного гамильтониана), как функции их энергии , в различных приближениях по малому рассеивающему потенциалу.

Первый порядок такой теории возмущений - меняет фазу рассеяния - более-менее соответствует формулам pvp и называется в литературе 1-м борновским приближением, (можете свериться с учебниками), но будут также давать вклад и другие, высшие порядки ряда теории возмущений. Если возмущающий (рассеивающий) потенциал мал - все сходится, если не мал, как правило, все расходится. В самом общем случае произвольной величины рассеивающего потенциала отсуммировать весь ряд Дайсона (или, что то же самое , точно решить интегральное уравнение Липпмана-Швингера ) - как правило не удается. Поэтому в пределе очень большого рассеивающего потенциала - люди просто берут (если это не лишает смысла рассматриваемую ими задачу) уже совсем другое приближение (как правило, слабого туннелирования через "уже-не-рассеиватель", а "туннельный барьер"), но это уже совсем другая история..

[Aritaborian]

Founder_Q в сообщении #1189201 писал(а):

Вы ничего не путаете, уважаемый?

Очень характерный речевой признак, позволю себе заметить. Не «уважаемый имярек», а просто «уважаемый»; маскировка неуважения под уважение.