Суммируемая с квадратом функция

[Cat]

Здравствуйте, не получается показать, что $sin\frac{2\pi t}{T_{1}}+\alpha sin\frac{2\pi t}{T_{2}}$ является суммируемой с квадратом на [-\infty,\infty]. Подскажите с чего начать. Заранее благодарю

[antbez]

Покажите конечность интеграла от квадрата приведённой Вами функции

[finanzmaster]

Cat писал(а):

Здравствуйте, не получается показать, что $sin\frac{2\pi t}{T_{1}}+\alpha sin\frac{2\pi t}{T_{2}}$ является суммируемой с квадратом на [-\infty,\infty]. Подскажите с чего начать. Заранее благодарю

Так она ж не убывает, стремясь \pm \infty . А для того чтобы быть в
L^2(-\infty, +\infty) - должна убывать, и не абы как, а "достаточно быстро"

[Cat]

Это у меня из статьи про вейвлет-преобразование. До этого там было написано, что данное преобразование можно применять только к функциям из $L^2(R)$, затем идет приведенная выше функция и сказано, что к ней применили преобразование. Вот я и не понимаю, как, ведь она не принадлежит $L^2(R)$.

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

Тогда возник другой вопрос:)
Если одна функция принадлежит $L^2(R)$, то какому условию должна удовлетворять другая функция, чтобы их произведение было суммируемо?

[finanzmaster]

Cat писал(а):

Это у меня из статьи про вейвлет-преобразование. До этого там было написано, что данное преобразование можно применять только к функциям из $L^2(R)$...

Ну во общем, да, к функциям из \L^2 (т.к. вейвлеты дают (ортонормированный) базис в \L^2)

Но! - не обязательно, чтобы \L^2 было на \mathbb{R}

Может в статье рассматривалась функция не на \mathbb{R}, а на конечном интервале? Тогда все элементарно.

Да, подкиньте ссылку на статью. Не могу обещать, что прочитаю, но если будет время - гляну.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Cat писал(а):

Э
Тогда возник другой вопрос:)
Если одна функция принадлежит $L^2(R)$, то какому условию должна удовлетворять другая функция, чтобы их произведение было суммируемо?

Ну, например, достаточно если другая функция тоже будет в $L^2(R)$
Тогда их произведение обязательно будет суммируемо (однако не факт, что с квадратом
)

То есть

$$ \int_{ - \infty }^\infty {|f(x)g(x)|dx < \infty } $$

А вот

$$ \int_{ - \infty }^\infty {|f(x)g(x)|^2dx } $$

уже не обязательно конечен

[Dan B-Yallay]

Cat писал(а):

Тогда возник другой вопрос:)
Если одна функция принадлежит $L^2(R)$, то какому условию должна удовлетворять другая функция, чтобы их произведение было суммируемо?

Неравенство Гельдера поможет вам.

[Cat]

Спасибо всем за ответы. Вот ссылка на статью:.
http://ufn.ru/ru/articles/1996/11/a/. А для того, что бы интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)dt<\infty$, где g(t)$\in L^{2}(R)$,достаточным ли будет ограниченность f(t)?

[Dan B-Yallay]

Cat писал(а):

Спасибо всем за ответы. Вот ссылка на статью:.
http://ufn.ru/ru/articles/1996/11/a/. А для того, что бы интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)dt<\infty$, где g(t)$\in L^{2}(R)$,достаточным ли будет ограниченность f(t)?

Нет. Рассмотрите $g(x)= 1/x , x \ge 1$, $ g(x)=0, x < 1,$ $
$f(x) = 1$

[finanzmaster]

Cat писал(а):

Спасибо всем за ответы. Вот ссылка на статью:.
http://ufn.ru/ru/articles/1996/11/a/. А для того, что бы интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)dt<\infty$, где g(t)$\in L^{2}(R)$,достаточным ли будет ограниченность f(t)?

Конечно нет, возьмите f(t) = const
А вот если бы у нас был конечный интервал, а не $\mathbb{R}$ - то, да, достаточно!

Кстати, в приведенной Вами статье сразу после формулы (6) говорится про существенную разницу между $L^{2}(R)$ и $L^{2}(0, 2\pi)$

[Cat]

А если потребовать $\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(t)dt=0$, то как тогда можно оценить интеграл от произведения?

[finanzmaster]

Cat писал(а):

А если потребовать $\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(t)dt=0$, то как тогда можно оценить интеграл от произведения?

Это вряд ли чего-то даст.

Вот если $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|g(t)|dt=0$,
то это означает, что $g(t)$ почти всюду равна нулю (а значит с точки зрения классов $L^p$ может быть заменена на $\bar{g}(t) = 0$)
Только представляет ли такой случай практический интерес?