Кручение пространства и метрика (их связь).

[Erleker]

(не математик)
Тензор кручения пространства $S^{m}_{ik}=\Gamma^{m}_{ik}-\Gamma^{m}_{ki}$ не зависит от метрики $g_{ik}$?Равенство его нулю же постулируется отдельно?И потом уже с учетом этого определяются символы Кристоффеля?

Полагаю, что ответ будет положительный.Но тогда возникает вопрос:
Определить уравнение геодезических мы может просто из метрики $\delta\int\limits_{1}^{2}g_{ik}dx^idx^k=0 (1)$. Так что же нам мешает записать полученное уравнение в форме:

$$d^2(x^m)+H^{m}_{ki}dx^kdx^i=0(2)$$

?
И из этого определить символы Кристоффеля как $\Gamma^{m}_{ki}=H^{m}_{ki}$ (ведь равенство $0$ - инвариантное утверждение, значит это вектор)(*), обходя $S$ ?И получить его потом, не гарантированно, что нулевой.
Разве между выражением (1) и его записью в форме (2) где-то в выводе "скрыто" постулирование тензора кручения $S$?

(*) Хм, хотя, я так понимаю, вот это же не так, этого не достаточно.

Объясните все-таки.Не могу въехать.

[Munin]

Erleker в сообщении #1188688 писал(а):

Тензор кручения пространства $S^{m}_{ik}=\Gamma^{m}_{ik}-\Gamma^{m}_{ki}$ не зависит от метрики $g_{ik}$?Равенство его нулю же постулируется отдельно?И потом уже с учетом этого определяются символы Кристоффеля?

Да. Да. Да.

Erleker в сообщении #1188688 писал(а):

И из этого определить символы Кристоффеля как $\Gamma^{m}_{ki}=H^{m}_{ki}$ (ведь равенство $0$ - инвариантное утверждение, значит это вектор)(*), обходя $S$ ?

Тут есть нюанс: что такое "символы Кристоффеля", дефинировано отдельно. Поэтому, если вы их так приравниваете производным от метрики, то попросту постулируете $S^{m}_{ik}=0.$

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1188710 писал(а):

Erleker в сообщении #1188688

писал(а):
Тензор кручения пространства $S^{m}_{ik}=\Gamma^{m}_{ik}-\Gamma^{m}_{ki}$ не зависит от метрики $g_{ik}$?Равенство его нулю же постулируется отдельно?И потом уже с учетом этого определяются символы Кристоффеля?
Да. Да. Да.

На второй и третий вопросы ответы ошибочны. Тензор кручения не обязательно равен нулю, если же он равен нулю, то соотв. связность называется симметрической. Кроме того, чаще всего сначала определяют символы Кристоффеля, и только потом - тензор кручения. См., например, Новиков, Тайманов, стр. 325-330.

[Erleker]

Munin в сообщении #1188710 писал(а):

Тут есть нюанс: что такое "символы Кристоффеля", дефинировано отдельно.

Я имел ввиду, если их называть ,как обычно, через изменение компонент при п-ном переносе.
Равенство $H$ отсюда не следует?

[Brukvalub]

Erleker в сообщении #1188688 писал(а):

Определить уравнение геодезических мы может просто из метрики $\delta\int\limits_{1}^{2}g_{ik}dx^idx^k=0 (1)$.

Это не так. Геодезические определяются как кривые, вектор скорости которых параллелен вдоль кривой. Но даже для геодезического потока римановой метрики геодезическая является кратчайшей не всегда, а только локально.

[Erleker]

Я имел ввиду кратчайшую кривую между 2 точками.Вы хотите сказать, что в общем случае пространства с кручением это не так? Ее определяют через символы Криссстофеля, а не через экстремальность?

[Brukvalub]

Erleker в сообщении #1188725 писал(а):

Вы хотите сказать, что в общем случае пространства с кручением это не так? Ее определяют через символы Криссстофеля, а не через экстремальность?

Да. Я же выше дал ссылку на учебник, хороший, ясно написанный, написанный двумя крупными учеными, первый из которых - академик РАН, зав. кафедрой высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. (У Кристоффеля одно "с" и два "ф").

[Erleker]

Brukvalub Ясно, спасибо за информацию.Начну читать этот учебник.

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1188729 писал(а):

[(У Кристоффеля одно "с" и два "ф").

Я знаю.Просто "ф" случайно рассыпалась и превратилась в 2 лишние "с".

Другой вопрос (наверное к Munin):
В физических теориях, в торсионных полях, с ненулевым кручением, смысл соответственно в том, что частица движется уже по новому определению геодезической (не подчиняясь принципу наименьшего действия), так?Но разве это не есть тогда какая-то формальность?В чем все-таки суть?В чем отличия от поля?

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1188714 писал(а):

На второй и третий вопросы ответы ошибочны.

Речь об ОТО. Там - постулируется.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1188739 писал(а):

Речь об ОТО. Там - постулируется.

Это какая-то особая, нестандартная дифференциальная геометрия - "ОТО"?

[Munin]

Erleker в сообщении #1188732 писал(а):

В чем отличия от поля?

А что значит, "отличия"? Это и есть поля́. Но одновременно - ещё и геометрические величины. Именно в этом и состоит теоретический вклад ОТО. Дальше на этой же идее строятся калибровочные теории поля.

"Торсионные поля" по-русски лучше не произносить, а torsion fields переводить как "поля кручения".

http://www.livingreviews.org/lrr-2004-2

А вот как прокладывать геодезическую, по метрике или по кристоффелям, этого я не знаю.

-- 30.01.2017 23:33:49 --

Brukvalub в сообщении #1188742 писал(а):

Это какая-то особая, нестандартная дифференциальная геометрия - "ОТО"? :shock:

Да. В ней приняты некоторые соглашения, которые за её рамками не считаются принятыми по умолчанию.