Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?

[DLL]

Пусть отображение трехмерного пространства $g$
1) оставляет неизменным расстояние между точек
и $T(v) = g(p_1) - g(p_2), v = p_1 - p_2$
2) $T [v_1, v_2] = [T(v_1), T(v_2)]$
Как доказать что $T$ - линейное?

[Padawan]

Сначала доказать, что для любых трех точек $O,A,B$ выполняется $(\vec{OA},\vec{OB})=(\vec{O'A'},\vec{O'B'})$.
Значит, если $O,\vec {OA},\vec {OB},\vec {OC}$ -- ортонормированный репер, то $O,\vec {OA},\vec {OB},\vec {OC}$ -- тоже ортонормированный репер и для любой точки $X$ коэффициенты разложения вектора $\vec{OX}$ по первому реперу совпадают с коэффициентами разложения вектора $\vec{O'X'}$ по второму реперу. Значит линейное (со сдвигом).

[DLL]

Скалярное произведение двух векторов можно выразить через норму суммы и норму разности этих векторов.
Но как разобраться тогда с оператором $T(\vec{OA} + \vec{OB}))$ от суммы? Мы же на данный момент не знаем, что он линейный

[Padawan]

А , из второго условия должно следовать, что сдвига нет? Не понял запись, извиняюсь. Попробуйте записать условия, используя различные обозначения для точек и векторов, как в аффином пространстве. Квадратные скобки - это векторное произведение?

[DLL]

Нет, сдвиг никто не запрещает: $p_1, p_2$ - точки, $v$ - вектор от точки $p_2$ к точке $p_1$.

[Padawan]

Доказать, что оператор $T\colon\mathbb R^3\to \mathbb R^3$, сохраняющий расстояние между точками, является аффинным, легко. Во втором сообщении темы я написал, как. Ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер, и координаты любой точки $X$ относительно исходного репера совпадают с координатами точки $T(X)$ относительно преобразованного репера.

[arseniiv]

DLL в сообщении #1188650 писал(а):

Как доказать что $T$ - линейное?

Никак. В точечном пространстве бывают только аффинные преобразования.

[DLL]

Если переформулировать для $T$ в векторном пространстве $R^3$ получается:
1) $||T u|| = ||u||$
2) $T [v_1, v_2] = [T v_1, T v_2]$
для всех $u, v_1, v_2$.

-- Пн янв 30, 2017 23:38:39 --

Только из условия (1), что это линейное преобразование ну точно не следует :)

-- Пн янв 30, 2017 23:57:22 --

А, сорри понял в чем дело. $T$ определен корректно только когда $g$ - аффинное преобразование. Вопрос снят