определение вещественного числа

[knizhnik]

Если сумма зависит от выбора представителей, то была бы возможна такая ситуация: $\exists \alpha, \beta, \beta' \in \mathbb{R} \ \exists a_n,a_n',b_n \ ( a_n + b_n \in \beta \wedge a_n' + b_n \in \beta' \wedge \beta \neq \beta' \wedge a_n,a_n' \in \alpha)$
Надо это проверить. Заметим, что поскольку $a_n,a_n' \in \alpha$, то $\lim_{n \to \infty} (a_n - a_n') = 0$. Но тогда $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n - b_n - a_n') = 0$. Тогда $\lim_{n \to \infty} ((a_n + b_n) - (a_n'+b_n)) = 0$, значит ситуация невозможна.

[knizhnik]

ewert в сообщении #1186277 писал(а):

А вот что действительно требует доказательства (или, во всяком случае, фиксации) -- это выполнение аксиом сложения.

Но не проще ли в таком случае сразу начать с аксиоматики вещественных чисел? Если все проверять, то нужна ли вообще явная конструкция $\mathbb{R}$ через последовательности?

ewert в сообщении #1186277 писал(а):

3) что любой элемент класса можно представить в виде такой суммы. Здесь уже надо хоть чуть-чуть, но думать. Впрочем, может быть, без этого утверждения можно и обойтись.

Тут что-то странное. Например, любой элемент класса элементарно складывается с последовательностью из одних нулей. Поэтому сумма существует всегда, это понятно.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1187004 писал(а):

Если все проверять, то нужна ли вообще явная конструкция $\mathbb{R}$ через последовательности?

Кому именно нужна?

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1187004 писал(а):

Если все проверять, то нужна ли вообще явная конструкция $\mathbb{R}$ через последовательности?

Нужна, чтобы доказать, что мы изучаем действительно существующее множество. А то вдруг мы ввели противоречивые аксиомы для $\mathbb{R}$, и теперь зачем-то доказываем утверждения про все элементы пустого множества?

knizhnik в сообщении #1187004 писал(а):

Поэтому сумма существует всегда, это понятно

Последовательность из одних нулей не обязана принадлежать второму слагаемому. Нам нужно доказать, что каждый элемент класса-суммы представим в виде суммы элементов классов-слагаемых.

[knizhnik]

arseniiv в сообщении #1187009 писал(а):

Кому именно нужна?

А кому дано?

mihaild в сообщении #1187010 писал(а):

Последовательность из одних нулей не обязана принадлежать второму слагаемому. Нам нужно доказать, что каждый элемент класса-суммы представим в виде суммы элементов классов-слагаемых.

Честно, не понимаю, что требуется. Если мы доказали, что сумма не зависит от выбора представителей, то слагаемые найдутся всегда. Последовательность из одних нулей принадлежит некоторому классу, по крайней мере в классе содержится она сама.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1188654 писал(а):

Если мы доказали, что сумма не зависит от выбора представителей, то слагаемые найдутся всегда

"Сумма не зависит от выбора представителей" - это $a \sim b, c \sim d \rightarrow (a + c) \sim (b + d)$. А нам еще нужно $\forall a,b,c,c^\prime: (a + b= c) \wedge c \sim c^\prime \rightarrow (\exists a^\prime, b^\prime: (a^\prime \sim a \wedge b^\prime \sim b \wedge (a^\prime + b^\prime = c^\prime)))$.
Первая часть говорит, что множество всех попарных сумм лежит в некотором классе. Вторая - что некоторый класс целиком лежит в множестве попарных сумм. Это разные утверждения (и можно придумать отношения эквивалентности, для которых выполнено одно, но не другое).

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1188654 писал(а):

А кому дано?

Чего дано?

[knizhnik]

arseniiv, не чего, а кому. Найдите задачу со словом "дано", если нужна конкретика.

[arseniiv]

Короче, кому-то что-то дано, и кто-то спрашивает, нужна ли ему явная конструкция $\mathbb R$ через последовательности. Я не могу помочь этому кому-то в такой общей постановке вопроса. (В этой теме «дано» находится только в постах текущего метаобсуждения.) Может, нужна. Может, не нужна. Может, телепатов завезут как-нибудь сюда. Может, не завезут.

[knizhnik]

(Оффтоп)

arseniiv, вы уж извините, но у нас нелепый какой-то с вами получается разговор. Я имел в виду безличные конструкции вроде английских given и it's necessary. Нет смысла спрашивать, к кому они относятся, равно как и слова дано и нужно. Если что-то просто дано или нужно, оно дано или нужно само по себе, безотносительно. Понимаете?

Вероятно, русский язык менее строг и удобен, чем тот же английский, но им можно пользоваться. По крайней мере, я пытаюсь.

[arseniiv]

(Оффтоп)

knizhnik в сообщении #1188754 писал(а):

Вы уж извините, но у нас нелепый какой-то с вами получается разговор.

Заметил. Прагматика коварна.

knizhnik в сообщении #1188754 писал(а):

Нет смысла спрашивать, к кому они относятся, равно как и слова дано и нужно. Если что-то просто дано или нужно, оно дано или нужно само по себе, как таковое, безотносительно. Понимаете?

Да, если они появляются в определённом контексте. Зачем строить $\mathbb R$ через последовательности? Низачем, обычно после того, как оно построилось, детали построения больше не вспоминаются. Его можно строить через дедекиндовы сечения, через почти-гомоморфизмы $\mathbb Z$, через много что. Зачем вообще строить? Потому что, как указано выше, нужно показать, что теория $\mathbb R$ непротиворечива. Можете показать это другим способом, не строя модели, с помощью изощрённых метатеорем. Безусловно это принесёт много пользы.

А можно не пользоваться вещественными числами… В конце концов, нет никаких внутриматематических причин интересоваться всем тем куском математики, который их использует.

knizhnik в сообщении #1188754 писал(а):

Вероятно, русский язык менее строг и удобен, чем тот же английский, но им можно пользоваться. По крайней мере, я пытаюсь.

Да нет, в данном случае ситуация вполне такая же: безличные конструкции с дано и нужно вполне распознаются. Только не всегда человек знает что говорит, и может быть так, что что-то, считающееся им нужным, зависит от того, от чего он решил, что оно не зависит.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1188756 писал(а):

Зачем вообще строить? Потому что, как указано выше, нужно показать, что теория $\mathbb R$ непротиворечива.

Вот давно хотелось ответить, да как-то всё лень было.

При чём тут непротиворечивость-то?...

Если конструкция удовлетворяет каким-то с бодуна придуманным аксиомам, то это ещё вовсе не означает, что в ней самой нет никаких внутренних противоречий. Тем более что их нет в исходном бодуне.

Модели аксиоматик нужны вовсе не для разборок с противоречивостью. А -- для проверки содержательности этих аксиоматик. А то ведь аксиом много всяких можно наповыдумывать.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1188758 писал(а):

Модели аксиоматик нужны вовсе не для разборок с противоречивостью. А -- для проверки содержательности этих аксиоматик.

Очень хочется узнать определение понятия "содержательность теории".
Для справки: модель нужна для проверки совместности систем аксиом, а совместность, как доказал в 1930 г. К. Гедель равносильна непротиворечивости.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1188758 писал(а):

Модели аксиоматик нужны вовсе не для разборок с противоречивостью.

Ну как же не, когда в некоторых часто используемых логиках есть теоремы вида «теория непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет модель».

[mihaild]

ewert в сообщении #1188758 писал(а):

При чём тут непротиворечивость-то?...

Если теория, в которой мы строим модель (в данном случае $ZF$, видимо), непротиворечива, то и наша новая теория (аксиоматика $\mathbb{R}$) тоже непротиворечива.
По сути, строя $\mathbb{R}$ (например из последовательностей), мы доказываем теорему в $ZF$ "существует множество с двумя бинарными операциями и отношением порядка на нем, такое, что ...". А дальше уже весь матан идет в виде "для любого множества и любых бинарных операций на нем, таких, что, ...., выполнено, что любая функция из этого множества в себя ...".