Несколько вопросов по топологии

[Terran]

Всем доброго времени суток.
Подскажите, пожалуйста, правильно ли рассуждал.

1. Построить универсальное накрытие над $\mathbb{R}P^n\vee \mathbb{R}P^n\vee \mathbb{R}P^n$ при $n\geqslant 2$.
Рассуждал так: накрытием для $\mathbb{R}P^n$ является сфера $S^n$. Возьмем букет $S^n\vee S^n\vee S^n$. Тогда у каждая точка $B$ будет иметь накрытую окрестность, но у всех точек, кроме букетной, будет 2 прообраза, а у букетной -- один. Тогда приклеим по точке, отличной от букетной в $S^n\vee S^n\vee S^n$ к одной из сфер еще букет $S^n\vee S^n$ так. Но опять не все точки имеют одинаковое число прообразов, поэтому продолжая этот процесс счетное число раз получим такую гирлянду из $S^n\vee S^n$, приклеенных по букетной точке к $S^n$. Тогда каждая точка базы будет иметь счетное число прообразов -- имеем бесконечнолистное универсальное накрытие над базой.

2. Доказать, что $\mathh{R}P^2$ не вкладывается в $\mathbb{R}^3$.
Думаю, здесь надо доказать, что если к листу мебиуса приклеивать диск в $\mathbb{R}^3$, то этот диск будет пересекать лист мебиуса. Но какой идеей руководствоваться, подскажите, пожалуйста.

3. $\pi_n(S^4) = \pi_n(S^7)\oplus\pi_{n-1}(S^3)$.
Здесь нужно применить лемму о расщеплении точной последовательности, но какое отображение из $S^4$ в $S^7$ придумать? Намекните, пожалуйста.

И еще немного странный вопрос: наверняка уже задавался когда-либо вопрос: дана последовательность групп, из которых все, кроме быть может, первой, абелевы. Всегда ли существует ли пространство, имеющие в точности такие гомотопические группы. Если да, то поделитесь, пожалуйста, есть ли какие-то результаты в этом вопросе, где можно про это прочитать.
Заранее спасибо.

[g______d]

Terran в сообщении #1188378 писал(а):

И еще немного странный вопрос: наверняка уже задавался когда-либо вопрос: дана последовательность групп, из которых все, кроме быть может, первой, абелевы. Всегда ли существует ли пространство, имеющие в точности такие гомотопические группы. Если да, то поделитесь, пожалуйста, есть ли какие-то результаты в этом вопросе, где можно про это прочитать.

Насколько я понимаю, можно просто взять соответствующие пространства Эйленберга-Маклейна и склеить по одной точке.

Terran в сообщении #1188378 писал(а):

Здесь нужно применить лемму о расщеплении точной последовательности, но какое отображение из $S^4$ в $S^7$ придумать? Намекните, пожалуйста.

Я бы начал с точной последовательности для расслоения Хопфа.

[Terran]

g______d в сообщении #1188420 писал(а):

Насколько я понимаю, можно просто взять соответствующие пространства Эйленберга-Маклейна и склеить по одной точке.

Да, идея хорошая, но разве для любых пространств $\pi_n(X\vee Y) =\pi_n(X)\oplus\pi_n(Y)$? Для букета окружностей уже неверно, хотя и для сфер $S^n, n>1$ верно (это тоже упражнение, которое сейчас решаю).

(Оффтоп)

Еще в лекциях Вербицкого встретил упражнение "доказать, что букет односвязных пространств односвязен". А в книге Виро Элементарная топология другое упражнение: "придумайте односвязные пространства с неодносвязным букетом". И неясно, что из этого верно?

g______d в сообщении #1188420 писал(а):

Я бы начал с точной последовательности для расслоения Хопфа.

Как раз из последовательности расслоения Хопфа: $\to\pi_n(S^3)\to ^{i_*} \pi_n(S^7) \to^{p_*}\pi_n(S^4) \to ^{\partial_*}\pi_{n-1}(S^3)\to$.
Это похоже на лемму о расщеплении, что если существует одно из отображений $r,s$, что $r\partial_* = id(\pi_n(S^4))$ или $p_*s = id(\pi_n(S^4))$, то получим искомое. Однако в условиях леммы присутствует короткая точная последовательность, а у нас в общем случае длинная. Поэтому, я все еще в догадках, верна ли вообще эта идея, а если верна, то можно ли построить такие левые и правые отображения $s,r$.

[g______d]

Terran в сообщении #1188553 писал(а):

разве для любых пространств $\pi_n(X\vee Y) =\pi_n(X)\oplus\pi_n(Y)$?

Здесь более слабое утверждение: если одна из групп тривиальна. Например, для $\pi_1$ это следует из теоремы ван Кампена. В любом случае, наверняка существует какой-то способ склейки, при котором группы ведут себя так как надо.

-- Пн, 30 янв 2017 07:31:15 --

Например (первое попавшееся описание):

http://mathoverflow.net/questions/65556 ... ns-of-pi-1

-- Пн, 30 янв 2017 07:33:14 --

А, ну так вообще всё просто, надо взять прямое произведение всех этих пространств. Остальная часть конструкции не нужна, там дополнительного условия ещё добиваются.

[Terran]

g______d
Точно, такая простая конструкция , спасибо.
Не подскажете с остальными задачами, правильно ли рассуждаю?

[kp9r4d]

Любая компактная гладкая гиперповерхность без края $X$ в $\mathbb{R}^3$ задаётся уравнением $f(x) = 0$ $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ таким, что $d_x f \neq 0, x \in X$. Но из этого следует, что $X$ ориентируема, а значит $X$ не может быть $\mathbb{R}P^2$.

[g______d]

http://math.stackexchange.com/questions ... set-mathbb

[vpb]

Про последнее равенство. Возможно, оно неверно. Есть книга Х.Тода, "Композиционные методы в теории гомотопических
групп сфер", там в конце есть некая таблица. Судя по ней, при $3\leq n\leq25$, $n\ne16$ равенство верно, а при
$n=16$ нет. $\pi_{16}(S^7)\cong Z_2^4$, $\pi_{15}(S^3)\cong Z_2^2$, но $\pi_{16}(S^4)\cong Z_2^3$.
И это, вполне вероятно, не опечатка в книге, а так и есть. Затем, при $n$ от 26 до 33 приведены результаты только для
2-компонент. И опять при $n=30,32$ равенство неверно. Стоп, сообразил... Какие-то там ошибки все-таки есть, иначе точной последовательности никак не получается... странно всё это! В общем, больше по данному поводу ничего не соображу, сам запутался (да и не моя специальность) (но, может быть, Вам это наблюдение все-таки будет полезно).

[Terran]

kp9r4d в сообщении #1188668 писал(а):

Любая компактная гладкая гиперповерхность без края $X$ в $\mathbb{R}^3$ задаётся уравнением $f(x) = 0$ $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ таким, что $d_x f \neq 0, x \in X$. Но из этого следует, что $X$ ориентируема, а значит $X$ не может быть $\mathbb{R}P^2$.

Спасибо.
Мне думалось о топологическом доказательстве: если бы диск можно было приклеить без пересечений к ленте Мебиуса, то тогда бы граничная окружность была гомотопна нулю в $\mathbb{R}^3\backslash L$, где $L$ -- средняя линия ленты Мебиуса. Пусть $L'$ -- граница, $T$ -- трубчатая окрестность средней линии, содержащая $L'$ тогда $\pi_1(T\backslash L) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z},\pi_1(\mathbb{R}^3\backslash L)=\mathbb{Z}$. Петля, определеляемая краем листа в $\mathbb{R}^3\backslash L$ нетривиален как композиция вложений $i_1 \colon T\backslash L \to \mathbb{R}^3\backslash L,\ i_2\colon L'\to T\backslash L$, поскольку $i_1_{*} (l') = a+b$ если обозначить $a,b$ как образующие группы $\pi_1(T\backslash L)$, а $l'$ -- образующая $\pi_1(L')$, поэтому $i_1(i_2(l'))\neq 0$ в $\pi_1(\mathbb{R}^3)$.