Математический маятник и затухание колебаний.

[Shtorm]

DimaM в сообщении #1187423 писал(а):

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

А в случае с эллиптической функцией Якоби, где-нибудь рассмотрены затухающие и вынужденные колебания?

А является ли эллиптическая функция решением уравнения $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega^2\sin x=0$ ?

Ну, там ниже, профессионалы уже ответили. А я со своей стороны попробовал аналитически точно решить данное диффуравнение известными мне методами и зашёл в тупик. Может кто из профессионалов сможет аналитически прорешать до момента неберущегося интеграла? Или уравнение вообще не разрешимо в квадратурах? Только раскладывать в ряд, а значит решать приближённо?

-- Пт янв 27, 2017 21:39:54 --

Metford в сообщении #1187456 писал(а):

...Я лелею мечту написать нечто такое. Оно в принципе практически написано. И точное решение задачи о математическом маятнике там есть. Но выйдет ли эта штука за пределы моего компьютера - не знаю...

А случайно Вот здесь вот не Вы написали? Тут по ссылке как раз описание функции Якоби, много графиков, осторожно присутствует назойливая реклама.

Metford в сообщении #1187456 писал(а):

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

Да, с учётом такого яркого физического применения, надо бы их рассматривать.

Их иногда в продвинуты курсы ТФКП включают по понятным причинам. Только эти курсы читаются ещё меньшему числу людей, чем теоретическая механика.

А не подскажете, подходящую литературу по ТФКП, где бы это рассматривалось?

Metford в сообщении #1187456 писал(а):

Хороший вопрос. Попробовал быстренько пробежаться по имеющейся на компьютере литературе - ничего такого не нашёл. Нужно повозиться с этим делом, посмотреть. На вопрос DimaM ответить.

Судя, по ответу dsge, этими вопросами, на данный момент времени, занимались только считанные единицы исследователей. В противном случае, это было бы более широко представлено в литературе.

-- Пт янв 27, 2017 21:41:31 --

dsge, большое спасибо за Ваш ответ, очень познавательно!

[Metford]

Shtorm в сообщении #1187822 писал(а):

А случайно Вот здесь вот
не Вы написали? Тут по ссылке как раз описание функции Якоби, много графиков, осторожно присутствует назойливая реклама.

Нет, это не моих рук дело. А реклама - это вообще не мой конёк.

(Оффтоп)

Бросилось в глаза слово "рассчет". Эх...

Shtorm в сообщении #1187822 писал(а):

А не подскажете, подходящую литературу по ТФКП, где бы это рассматривалось?

Маркушевич А.И. "Теория аналитических функций", том 2.

Shtorm в сообщении #1187822 писал(а):

А я со своей стороны попробовал аналитически точно решить данное диффуравнение известными мне методами и зашёл в тупик.

Вот я тоже пробовал - с тем же результатом. Подозреваю, что мы с Вами не первые.
С тригонометрическими-то функциями хорошо: ввёл для затухания экспоненту - и всё. Тут такой номер не пройдёт из-за синуса. Я не большой знаток эллиптических функций, хотя не раз хотел ими заняться вплотную. Может быть там ещё какие-то функции есть с нужными свойствами.

[Shtorm]

Metford в сообщении #1187825 писал(а):

Маркушевич А.И. "Теория аналитических функций", том 2.

Большое спасибо.

Metford в сообщении #1187825 писал(а):

Вот я тоже пробовал - с тем же результатом. Подозреваю, что мы с Вами не первые.

Мне представилась аналогия:
Сначала человечество использовало только множество $\mathbb{N}$, затем появилась потребность в использовании $\mathbb{Z}$, затем $\mathbb{R}$, а затем $\mathbb{C}$. Так и с математическим маятником: сначала решили задачу с уравнением свободных незатухающих колебаний на малых углах отклонения, затем затухающих колебаний на малых углах отклонений, затем вынужденных колебаний на малых углах отклонений, затем свободных незатухающих колебаний на любых углах отклонений. И каждый раз математический аппарат немножко усложнялся. С переходом на произвольные углы отклонения, математический аппарат сделал большой скачок в усложнении. Теперь ставим задачу найти решение уравнения затухающих колебания при произвольных углах отклонения и видимо нужен более сложный математический аппарат.
Вот вопрос возникает, неужели не разработано методов нахождения общего решения дифференциального уравнения вида:

$$\frac{dy}{dx}+\frac{P(x)}{y}=Q(x)$$

В частных-то отдельных случаях такое уравнение решается. А вот в общем?

[arseniiv]

Ну что значит «решается»? Существуют решения задачи Коши при таких-то условиях? Существуют выражения их через функции какого-то класса? Что-то кроме/вместо?

[Shtorm]

arseniiv, ну раз я написал, общее решение дифференциального уравнения, значит уже подразумевается именно общее решение, а не решение задачи Коши. Задача найти функцию $y(x)$ выраженную через любые функции, заданные аналитическими выражениями, которые будут позволять находить $y$ зная $x$.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #1188179 писал(а):

Задача найти функцию $y(x)$ выраженную через любые функции, заданные аналитическими выражениями, которые будут позволять находить $y$ зная $x$.

Уточнимся, найти $y=f(x,C$) или в неявном виде $F(x,y,C)=0$, где $C$ - произвольная константа интегрирования.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1188179 писал(а):

значит уже подразумевается именно общее решение, а не решение задачи Коши

Ну, не решение какой-то конкретной, а любой, скажем?

Просто если в любой постановке, какую вы там пожелаете, функция единственна, то можно назначить ей букву и успокоиться. А «аналитические выражения» — это так себе определение. Нужно задавать класс функций, которые можно в этих выражениях использовать.

[Metford]

arseniiv в сообщении #1188279 писал(а):

Нужно задавать класс функций, которые можно в этих выражениях использовать.

Мне, например, первой приходит мысль о том, что там могут/должны быть эллиптические функции. Я понимаю, что это не вполне ответ на Ваш вопрос, но рассуждение исключительно по аналогии со случаем малых колебаний. В том случае введение затухания отражается на решении появлением экспоненциального множителя. Здесь так просто не будет, но, по крайней мере, эллиптические функции должны бы, наверное, в решении остаться - если это решение вообще можно выразить через элементарные и эллиптические функции.

P.S. Вот сказал это всё и подумал, что когда-то подобное уже видел. Кажется, в теории Лиувилля - о вычислении интегралов в элементарных функциях. По принципу: что считать элементарной функцией.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1188279 писал(а):

Ну, не решение какой-то конкретной, а любой, скажем?

Ну хорошо, давайте искать решение задачи Коши (надо же хоть как-то решить ). Всё равно у нас будут начальные условия: угол отклонения маятника в момент времени $t=0$ и соответственно, угловая скорость маятника в этот момент времени.

arseniiv в сообщении #1188279 писал(а):

Просто если в любой постановке, какую вы там пожелаете, функция единственна, то можно назначить ей букву и успокоиться. А «аналитические выражения» — это так себе определение. Нужно задавать класс функций, которые можно в этих выражениях использовать.

А я вот не пойму: какая разница - какой класс функций? Главное найти такое выражение, в которое вместо аргумента можно подставить конкретное число и найти значение функции.

Metford в сообщении #1188283 писал(а):

Мне, например, первой приходит мысль о том, что там могут/должны быть эллиптические функции.

Вполне может быть. А может и не быть. Это знаете как $\int x\cdot e^xdx$ и $\int \frac{e^x}{x}dx$ вроде бы и похожи, но один интеграл берётся в элементарных функциях, а второй не берётся и по договорённости математиков считается сам по себе неэлементарной функцией. Так может и с нашим затуханием быть.
Мне представляется самым главным, разрешить уравнение в квадратурах и пусть там в левой и в правой части появятся неберущиеся интегралы, которые нельзя выразить с помощью всех известных элементарных и неэлементарных функций. Мы всегда можем ввести новую неэлементарную функцию, назвать её в честь кого-то из форумцев , подробно исследовать эту функцию и её график, составить большую подробную таблицу её значений. А потом написать программку, которая вычисляет эту функцию, при известном значении аргумента. Только проблема: разрешается ли диффур в квадратурах?

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1188306 писал(а):

А я вот не пойму: какая разница - какой класс функций? Главное найти такое выражение, в которое вместо аргумента можно подставить конкретное число и найти значение функции.

(То ли мы друг друга не понимаем, то ли мне надо сделать фейспалм.) Ну как какая. Вы можете «выразить» упомянутые эллиптические функции, если они у вас есть, но не можете, если есть только элементарные. При этом вопросу об исследовании свойств функции вопрос о выразимости в некоторой степени ортогонален. Если вас интересуют свойства, то тут нельзя сказать ничего лучше «it depends». Каждую новую специальную функцию в общем случае надо исследовать отдельно. Если выражается через известные — может, поменьше.

[Dragon27]

Shtorm в сообщении #1188306 писал(а):

А я вот не пойму: какая разница - какой класс функций? Главное найти такое выражение, в которое вместо аргумента можно подставить конкретное число и найти значение функции.

Так чем ряды-то не угодили?
По сути, тригонометрические функции и экспоненты - те же ряды, на которые повесили определённое имя и используют как обычные элементарные функции.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1188314 писал(а):

(То ли мы друг друга не понимаем, то ли мне надо сделать фейспалм.)

Давно известно, что я от Вас отстаю в физико-математическом плане. Так что, скорей всего это я Вас не понимаю. Прошу Вас, будьте ко мне снисходительны и разжёвывайте мне Ваши замечания, тезисы и вопросы поподробнее.

arseniiv в сообщении #1188314 писал(а):

Ну как какая. Вы можете «выразить» упомянутые эллиптические функции, если они у вас есть, но не можете, если есть только элементарные.

Вот здесь можно поподробнее: Что Вы понимаете под словом "выразить"? Типа, после интегрирования левой и правой части диффура есть уравнение:

$$\int g\left [\alpha(t)\right ]d\alpha=t+C$$

где $\alpha(t)$ - угол отклонения маятника в зависимости от времени, $t$ - время, $C$ - константа интегрирования. Причём в левой части вышенаписанного уравнения стоит интеграл, который не берётся в элементарных функциях, но сводится после преобразований к эллиптическому интегралу 1-го рода. Теперь, чтобы выразить из под эллиптического интеграла $\alpha(t)$ мы используем обратную функцию по отношению к эллиптическому интегралу 1-го рода и получаем эллиптическую функцию Якоби или синус Якоби. Таким образом уравнение преобразуется так: слева стоит $\alpha(t)$, а справа синус Якоби, в аргументе которого время и другие параметры.
Именно это Вы понимаете под словом "выразить"????
То есть, одно дело просто проинтегрировать и получить зависимость угла от времени в неявном виде, а другое дело выразить в явном виде $\alpha(t)$?

arseniiv в сообщении #1188314 писал(а):

Каждую новую специальную функцию в общем случае надо исследовать отдельно.

Это да. Это я за, обеими руками!

[Metford]

Shtorm
Это уточнение вроде "уравнение разрешимо в радикалах". Если Вы хотите найти только рациональные решения алгебраического уравнения, то даже если у него есть корни, но они иррациональные - они Вас не устроят. Так же и здесь. Если Вы хотите решить уравнение движения математического маятника без затухания, пользуясь только элементарными функциями, то это Вам не удастся. Но если Вы скажете, что не возражаете и против эллиптических функций (что Вы и сделали уже) - то проблем нет вообще никаких.

[Shtorm]

Dragon27 в сообщении #1188320 писал(а):

Так чем ряды-то не угодили?

Если например, написать дифференциальное уравнение незатухающих свободных колебаний математического маятника и заменить в этом уравнении $\sin\alpha\sim\alpha$ то это тоже по сути разложение в ряд Маклорена до первого члена ряда. Результат решения такого уравнения давно известен: угол $\alpha$ меняется как синус или косинус от времени. И при отклонении маятника всего на 30 градусов наблюдается отклонение реальных колебаний от синуса или косинуса. Если взять больше членов ряда, решение уравнения сильно усложнится. В итоге получится здоровое выражение, я уж не помню в явном виде или в неявном. Но определённо некрасивое. Но вот мы оставляем в диффуре $\sin\alpha$, решаем как есть и получаем изящное, абсолютно точное решение через синус Якоби. Тем самым математически точно описывая колебания при любых углах отклонения.
Вот и с затухающими колебаниями мне ситуация представляется именно такой же.

-- Вс янв 29, 2017 21:42:41 --

Metford в сообщении #1188283 писал(а):

...но рассуждение исключительно по аналогии со случаем малых колебаний. В том случае введение затухания отражается на решении появлением экспоненциального множителя. Здесь так просто не будет, но, по крайней мере, эллиптические функции должны бы, наверное, в решении остаться - если это решение вообще можно выразить через элементарные и эллиптические функции.

Мне тут мысль пришла, после прочтения Вашего сообщения: а что если взять и умножить синус Якоби на экспоненту с отрицательным показателем? Получим опять же затухающие колебания на графике. А потом возьмём и аппроксимируем экспериментальные точки этой зависимостью и оценим погрешность.

-- Вс янв 29, 2017 21:50:10 --

Metford в сообщении #1188354 писал(а):

Это уточнение вроде "уравнение разрешимо в радикалах". Если Вы хотите найти только рациональные решения алгебраического уравнения, то даже если у него есть корни, но они иррациональные - они Вас не устроят. Так же и здесь. Если Вы хотите решить уравнение движения математического маятника без затухания, пользуясь только элементарными функциями, то это Вам не удастся. Но если Вы скажете, что не возражаете и против эллиптических функций (что Вы и сделали уже) - то проблем нет вообще никаких.

Ах вот как? Это Вы мне расшифровали мысли arseniiv? Ну если он именно это имел ввиду, тогда ответ ему такой: если уж в теме изначально я рассматривал уравнение незатухающих колебаний на произвольных углах, записанное именно через синус Якоби - эллиптическую функцию (поскольку и правда в элементарных-то не выражается), то понятно, что затухающие колебания на произвольных углах, уж никак элементарными функциями не опишутся. Это я с самого начала осознавал и думал, что и все другие участники беседы именно такой подход исповедуют.
А я уж начал думать, что arseniiv допытывает меня о классах неэлементарных функций: там типа, одно дело эллиптические функции, другое дело функции Бесселя и т.д.

[Metford]

Вот посмотрите, как выглядит пример численного решения (справа - в логарифмическом масштабе). В текст, извините, не вставилось.
Но тут есть небольшое уточнение, которое я чуть позже сделаю.

Shtorm в сообщении #1188358 писал(а):

Это Вы мне расшифровали мысли arseniiv?

Это я предположил. Посредником меня не назначали