Ложные аналогии в математике

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Один из наиболее известных в истории примеров ложных аналогий второго типа: поиск аналога комплексных чисел в трёхмерном пространстве.

Скорее, поиск таких чисел как трёхмерной вещественной алгебры.

-- Вс янв 29, 2017 17:46:44 --

Linkey в сообщении #1188260 писал(а):

Чем отличается правильный "четырехмерный тетраэдр" от неправильного? У правильного (и только у правильного) все рёбра равны?

4-симплекс. Можно считать так — для них всё просто, они жёсткие.

Ether в сообщении #1188265 писал(а):

Вот математика и состоит из того, до чего добрались. Всё остальное - лишь путь, который пока не пройден неизвестно куда приведёт.

«Лишь» путь — это довольно крайняя точка зрения. Немногие с вами согласятся. Математика интересна людям не по одной лишь причине своей точной определённости вещей — это какой-то довольно прикладной интерес (что не значит плохой — просто есть больше). Это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга. В сухом остатке это часто остаётся лишь угадывать.

[Linkey]

arseniiv в сообщении #1188270 писал(а):

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Один из наиболее известных в истории примеров ложных аналогий второго типа: поиск аналога комплексных чисел в трёхмерном пространстве.

Скорее, поиск таких чисел как трёхмерной вещественной алгебры.

Если я правильно понимаю, комплексные числа - это "двумерная алгебра", а комплексные числа с кватернионами - "пятимерная"?

[grizzly]

Ether в сообщении #1188265 писал(а):

Использование таких конструкций включает субъективный фактор, эти фразы лишь подразумевают под собой существование доказательства, которое сомневающиеся могут построить сами, попросить продемонстрировать его или принять на веру.

Если я в доказательстве вижу рассуждения типа "поскольку А изоморфно Б, то имеют место такие-то утверждения", я их понимаю так, что в слове "изоморфно" спрятано вполне законное и строго формализованное рассуждение по аналогии. Точно так же я понимаю, что мат. индукция есть узаконенное аксиоматически рассуждение по аналогии. Ни то, ни другое не требуется принимать на веру.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #1188274 писал(а):

Если я правильно понимаю, комплексные числа - это "двумерная алгебра", а комплексные числа с кватернионами - "пятимерная"?

Комплексные — двумерная, да. Их можно записать как пары вещественных. А комплексные числа с кватернионами — это вообще не алгебра, но даже если вы имели в виду алгебру $\mathbb C\oplus\mathbb H$ (пары с покомпонентными операциями), она шестимерна. Кватернионы — четырёхмерная алгебра.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1188270 писал(а):

Скорее, поиск таких чисел как трёхмерной вещественной алгебры.

Я имел в виду сэра Гамильтона -- он мыслил всё это в рамках плоскости и пространства и искал свои аналоги геометрических свойств чисел тоже в этих рамках, как я понимаю.

[Ether]

grizzly в сообщении #1188281 писал(а):

Если я в доказательстве вижу рассуждения типа "поскольку А изоморфно Б, то имеют место такие-то утверждения", я их понимаю так, что в слове "изоморфно" спрятано вполне законное и строго формализованное рассуждение по аналогии. Точно так же я понимаю, что мат. индукция есть узаконенное аксиоматически рассуждение по аналогии. Ни то, ни другое не требуется принимать на веру.

Понимая так, Вы проводите аналогию между математическим понятием изоморфизм и бытовым понятием аналогия, навешивая на него такие понятия как "законное" и "строго формализованное рассуждение", т.е. скатываетесь в бытовую плоскость, в то время как изоморфизм можно определить без применения понятия аналогия.

То, что изоморфизм и индукция формализованные понятия - это очевидно. Но узаконены ли такие утверждения, как "очевидно" или "аналогично"?

-- 29.01.2017, 18:04 --

arseniiv в сообщении #1188270 писал(а):

Математика - Это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга.

Политика- это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга.

В сухом остатке, математика- это политика?

[grizzly]

Ether в сообщении #1188300 писал(а):

т.е. скатываетесь в бытовую плоскость, в то время как изоморфизм можно определить без применения понятия аналогия.

Боюсь, что это Вы скатываетесь в демагогию. Я предложил определение понятия ["математической"] аналогии как морфизма. (Мы можем рассматривать любые морфизмы или некоторые из них, по усмотрению.) Вы своего определения не привели, а моё либо не поняли, либо отрицаете, не раскрывая своего отношения. Не самая конструктивная позиция.

-- 29.01.2017, 17:43 --

И, кстати, спасибо за пример аналогии между аналогиями -- неплохо в первом приближении

[Ether]

grizzly в сообщении #1188308 писал(а):

Вы своего определения не привели, а моё либо не поняли, либо отрицаете, не раскрывая своего отношения.

Вроде бы я однозначно придерживаюсь позиции о том, что в математике можно обойтись без понятия аналогия, конечно если это не будет какой-то узкоспециализированный термин, которым назовут какое-либо формализованное понятие.

[arseniiv]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1188295 писал(а):

Я имел в виду сэра Гамильтона -- он мыслил всё это в рамках плоскости и пространства и искал свои аналоги геометрических свойств чисел тоже в этих рамках, как я понимаю.

Ну, я вроде так примерно и понял. То, что система должна быть алгеброй над вещественными — более-менее с современного взгляда очевидно.

Ether в сообщении #1188300 писал(а):

Политика- это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга.

В сухом остатке, математика- это политика?

К чему эта демагогия? Я не давал определения математики и при этом использовал контекст темы. При чём тут политика вообще?

[Ether]

arseniiv в сообщении #1188313 писал(а):

Я не давал определения математики

А что такое это вот здесь?

arseniiv в сообщении #1188270 писал(а):

Это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга.

arseniiv в сообщении #1188313 писал(а):

К чему эта демагогия?

Простите, просто пытался сказать незаметно, то, что Вы называете это, на самом деле - эта, она самая.

[Mikhail_K]

Ether в сообщении #1188318 писал(а):

А что такое это вот здесь?

Очевидно, это было не определение, а описание.
Слово "это" в русском языке употребляется не только в определениях.
Например, "собака - это млекопитающее" - верное утверждение, но определением не является.
Так что в рамках этой Вашей логики -

Ether в сообщении #1188300 писал(а):

Политика- это целая большая игра, в которой люди друг с другом в том числе общаются и удивляют друг друга.

можно было бы заключить, что собака - это кошка (потому что собака - это млекопитающее, и кошка - это млекопитающее).

[Dmitriy40]

Anton_Peplov в сообщении #1188247 писал(а):

примеры того, как рассуждения по аналогии приводили к математическим открытиям (и наоборот, к упорным попыткам доказать ложные утверждения),

Мне казалось тема именно вот об этом. А не теоретизирование что такое аналогии в математике вообще. Вот хороший пример первого:

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Один из наиболее известных в истории примеров ложных аналогий второго типа: поиск аналога комплексных чисел в трёхмерном пространстве.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1188322 писал(а):

Очевидно, это было не определение, а описание.

Именно. Это было просто свойство. О том, что всякая вещь, обладающая им, есть математика, я не говорил.

Ether в сообщении #1188318 писал(а):

Простите, просто пытался сказать незаметно, то, что Вы называете это, на самом деле - эта, она самая.

А вот эта демагогия ещё более ни к чему. Словоупотребление «молоток — это инструмент <описание>» более естественно для среднего носителя русского языка, чем «молоток — этот инструмент <описание>».

[Ether]

(Оффтоп)

Хотел написать вот это: "Свойств и описаний для математики можно приводить бесчисленное множество, причем они могут принадлежать не только математике. Но логически рассуждая в рамках лишь этих свойств и описаний можно прийти еще и не к такому. Если рассуждать логически в этих рамках - будет бред, если не рассуждать логически, а просто приводить описания и свойства, то это и будет демагогия. Чтобы обсуждение было конструктивным, необходимы определения и аргументация. Вы же в качестве аргументации приводите свойство, которое безо всяких обоснований сами присваиваете предмету обсуждения."

Но хорошо поразмыслив решил, что я действительно перегибаю палку и реагирую на то, чего Вы на самом деле делать и не собирались. Поэтому прошу меня извинить.

[Linkey]

Ether в сообщении #1188265 писал(а):

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Интересно было бы найти хороший пример аналогии между аналогиями. Не обязательно в математике.

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Точно так же можно вспомнить, что есть два разных подхода к пониманию аналогии: "математическое" (см. определение морфизма) и "бытовое" -- от более привычного и понятного к незнакомому.

Морфизм- аналогия в математике. Аналогия- морфизм в бытовом понимании.
Проведение параллелей между математическим понятием морфизм и бытовым понятием аналогия - есть аналогия между двумя аналогиями.

Я бы привёл ещё пример: первая аналогия - между треугольником и тетраэдром, вторая - между квадратом и кубом. Эти две аналогии подобны.
Я нашёл свой пример ложной аналогии: в трехмерном пространстве есть аналог правильного трёхугольника, есть аналог правильного четырёхугольника, но нет аналога правильного пятиугольника.

Приведённые выше примеры аналогий мне непонятны в силу моей необразованности. Вроде можно взять такой пример (который мне понятен): пространство Лобачевского и внутренняя поверхность сферы.