Диффеоморфно отобразить шар на R^n

[Grabovskiy]

Здравствуйте! Прошу помочь диффеоморфно отобразить открытый единичный шар $B(0,1) \subset \mathbb R ^n$ на все $\mathbb R ^n$.

Пробовал брать такие отображения ($\|\cdot\|$ у меня евклидова норма):
$B(0,1) \ni x \mapsto x \exp(\frac{1}{1-\|x\|^2}) \in \mathbb R ^n,$
$B(0,1) \ni x \mapsto \frac{x}{1-\|x\|^2} \in \mathbb R ^n.$
Инъективность и гладкость получить легко. Но непонятно, как проверить гладкость обратного отображения. Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции, но якобиан вычисляется не очень просто. Может, есть какой-нибудь простой путь? Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны. Правильно ли это?

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):

Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны.

Они не всегда даже гомеоморфны! Для того, чтобы различать не гомеоморфные многообразия, придуманы, например, группы гомологий и когомологий.

[DeBill]

Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):

Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции,

И хорошо. А в чем проблемы? В нуле - легко, поскоку отображение "почти " линейно. Вне нуля - все гладенько, а в полярной системе к-т - так вааще красиво...

[Grabovskiy]

Получилось, спасибо! Отобразил шар на куб, а потом куб на $\mathbb R^n$.