Корректность определения операции

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1187880 писал(а):

Что именно есть класс эквивалентности?

Класс эквивалентности по отношению $(a,b)\mapsto a\equiv b\pmod m$, другие отношения эквивалентности здесь не рассматривались.

knizhnik в сообщении #1187888 писал(а):

Что сумма классов, определенная через представителей, не зависит от выбора последних - это факт очевидный и решается в две строчки. Ну в три.

Как видите по этой теме, такие определения операций над классами через представителей всё же иногда смущают людей. Потому я и привёл альтернативу.

(Оффтоп)

А вообще полезно доказать всё это в общем виде для любой совместимой с каким-нибудь отношением эквивалентности операции или любого совместимого отношения, или даже взять операции-отношения с несколькими носителями и отношениями эквивалентности на них.

[knizhnik]

arseniiv в сообщении #1187913 писал(а):

А вообще полезно доказать всё это в общем виде для любой совместимой с каким-нибудь отношением эквивалентности операции или любого совместимого отношения, или даже взять операции-отношения с несколькими носителями и отношениями эквивалентности на них.

Ничего не гарантирую на общий случай, но здесь все просто. Возьмем прямое произведение $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_m$ и рассмотрим отношение $S(\alpha, \beta)$ между его элементами: $S(\alpha, \beta) \equiv (a_1,a_2 \in \overline{a_1} \land b_1,b_2 \in \overline{b_1}) $ $\land (\alpha=(a_1,b_1) \land \beta=(b_1,b_2) \land \overline{a_1 + b_1} = \overline{a_2 + b_2})$. И кванторы существования по компонентам пар лучше поставить видимо. Тогда $S(\alpha, \beta)$ - это отношение эквивалентности. Самое нетривиальное здесь - доказать рефлексивность, то есть $S(\alpha, \alpha) \equiv R(a_1,a_2) \equiv a_1,a_2 \in \overline{a_1} \land \overline{a_1 + a_1} = \overline{a_2 + a_2}$. Но построенное здесь $R(a_1,a_2)$ - это тоже отношение эквивалентности. Теперь все элементарно, если я нигде не напутал.