Движение колеса по кривой

[danston]

Здравствуйте.

Мне надо решить задачу такого вида:
Есть произвольная траектория(любая, например синусоида) и есть круг (точнее колесо), надо чтобы это колесико катилось по траектории, именно сверху кривой а не вдоль, то есть центр колеса должен в каждой точке кривой смещаться на радиус в верх по нормали к касательной в этой точке, то есть не просто на радиус, в этом случае при передвижении колесо будет пересекать кривую, а именно по нормали. Решая эту задачу я составил уравнение вида f1(x)=f(x)+$\sqrt{r^2-(b-x)^2}+r для вехней части окружности и f2(x)=f(x)-$\sqrt{r^2-(b-x)^2}+r для нижней, где r - радиус круга, f(x) - функция, задающая кривую, отдельно задал уравнение касательной и нормали, но у меня происходит обычное смещение на радиус, а не по нормали, то есть как я понимаю вместо r должна стоять какая-то функция, производящая смещение по нормали, но какая именно я найти не могу. Если кто-нибудь знает как решить эту задачу или где найти решение, пожалуйста помогите.

Заранее очень благодарен Вам за помощь.

P.S. Колесо может и не катиться, а просто перемещаться, реализую задачу в среде Mathcad.

[Андрей123]

Если кривая задана параметрически: $x=x(t),y=y(t)$, то центр колеса опишет кривую
$X(t)=x(t)-\frac{R \dot y sign(\dot x)}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}$,$Y(t)=y(t)+\frac{R \dotx sign(\dot x)}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}$

[danston]

Большое спасибо

Я пытался решить задачу в параметрической форме, правда у меня вышел несколько другой результат, видать где-то ошибся. А нет ли решения этой задачи не в параметрической форме?

[ИСН]

Да формула-то банальная. (Только там внизу, конечно, не x и y, а тоже производные. И корень, кажется, ещё пропал.)
А с непараметрическим видом - это лотерея: подставляете конкретную кривую и смотрите; удалось выразить - значит, повезло; нет - так нет...

[Henrylee]

Хм.. А вот возникает вопрос, что будет в точках, в которых радиус кривизны меньше $R$? Тогда либо часть колеса будет пересекать кривую, либо колесо будет катиться не по всем точкам кривой, это учтено?

[ИСН]

Конечно, нет; как бы это было учтено?
Конечно, будет нехорошо.

[Андрей123]

ИСН писал(а):

Только там внизу, конечно, не x и y, а тоже производные. И корень, кажется, ещё пропал.

Да, конечно, уже исправил. В спешке писал и не заметил.