Доказательство инвариантности вектора/тензора

[Eugeniy_Sazonov]

Здравствуйте, друзья! =)
Застопорился на одном интересном для меня моменте, верно ли выражение:

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} d \xi^1 + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} d \xi^1 = 2d \xi^1$ \label{f_1}

На это выражение я набрел из вот каких рассуждений:
Есть две системы координат:
$\xi^i = \xi^i (\eta^1, \eta^2, \eta^3)$
$\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2, \xi^3)$

Базис в системе $\xi^i$ обозначим $\mathbf{e_i}$, а в системе $\eta^i$ обозначим $\mathbf{e'_i}$.
Дифференциал вектора в системе $\xi^i$ равен $d\mathbf{r} = d\xi^i \mathbf{e_i}$.

Докажем, что вектор инвариантен в обеих системах координат, т.е. $d\mathbf{r} =d\eta^i \mathbf{e'_i}= d\xi^i \mathbf{e_i}$.

Теперь запишем законы преобразования для компонент:
$d \xi^i = \frac{\partial \xi^i}{\partial \eta^j}d \eta^j $ \label{f_2}
$d \eta^i = \frac{\partial \eta^i}{\partial \xi^j}d \xi^j $ \label{f_3}
и векторов базиса:
$ \mathbf{e'_i} = \mathbf{e_j}\frac{\partial \xi^j}{\partial \eta^i}$ \label{f_4}.

Запишем теперь для размерности $n=2$
$d\mathbf{r} =d\eta^i \mathbf{e'_i}= d\eta^1 \mathbf{e'_1}+ d\eta^2 \mathbf{e'_2} = (\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) \cdot (\mathbf{e_1}\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}+\mathbf{e_2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1})$$+(\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) \cdot (\mathbf{e_1}\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}+\mathbf{e_2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2})=$.

$ = \mathbf{e_1} (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) = $

$ = \mathbf{e_1} (d \xi^1 +0 \cdot d \xi^2+d \xi^1 +0 \cdot d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (0 \cdot d \xi^1 +d \xi^2+0 \cdot d \xi^1 +d \xi^2)= $

$ = 2 \mathbf{e_1} d \xi^1 +2\mathbf{e_2} d \xi^2 = 2 d\xi^i \mathbf{e_i}$

Уже очень долго голову ломаю , не могу понять где ошибка.

[DeBill]

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = 1$
- по правилу дифференцирования сложной функции
Или так: производная композиции равна композиции производных.
В одномерном случае - это просто числа, и нет проблем.
Но в многомерном - "производные" - это , фактически, матрицы, и "правило" грит:
Матрица производной композиции отображений равна произведению матриц - производных.
Вы же пытаетесь элемент один-один произведения матриц сосчитать как произведение таких же элементов сомножителей...
НИЗЯ!

[Eugeniy_Sazonov]

Спасибо за ответ, DeBill. Мне как раз и не понятно, каким образом 1 получается в выражении $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = 1$.

Буду признателен, если Вы скажете, где посмотреть доказательство этого факта.

[пианист]

Берем частную производную $\xi^1$ как функции $\xi^1,\xi^2$ по $\xi^1$. Это $1$.
Затем рассматриваем ту же $\xi^1$ как композицию $f(\eta^1(\xi^1,\xi^2),\eta^2(\xi^1,\xi^2))$, берем производную по $\xi^1$ уже как сложной функции. Должна получиться опять-таки $1$.

[Eugeniy_Sazonov]

Доброе утро, друзья!
Используя Ваши советы я доказал, но немного по другому:

Рассмотрим первую скобку выражения:
$d\mathbf{r} = \mathbf{e_1} (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) $

Преобразуем ее следующим образом:
$ (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) +(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2- \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2)+$
$+(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2)+(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2-\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) =$
$= \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} (\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 + \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}(\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) = d \xi^1 $

Ч. т. д.

Но у меня появился еще один вопрос:
Как используя примерно такие же рассуждения получить единичную матрицу при перемножении матрицы прямого и обратного преобразования? То, что написал пианист - конечно здорово, но мне не ясно, зачем представлять $\xi^1$ как функцию $\xi^1,\xi^2$.

Поэтому рассмотрим $a^{i \cdot}_{\cdot j}b^{j \cdot}_{\cdot k}$ при $i=1, j =1$ и будем использовать следующие обозначения, например: $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} $, где $d_1 \xi^1$ - дифференциал $d\xi^1$ полученный в результате только $d \eta^1$ (т.е. $d \eta^2 = 0$) и $d \eta^1 = d_1 \eta^1+d_2 \eta^1$.

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_1 \eta^1+d_2 \eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_1\eta^2 + d_2\eta^2}{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1} = $
$= \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d\eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d\eta^2 }{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}=$
$= \frac{d_1 \xi^1+d_2 \xi^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}= 1 - \frac{d \xi^2}{d \xi^1}(\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^2} + \frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^2})$.

Но, так как у меня $\xi^1$ и $\xi^2$ независимы, то $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}=0$.

Или я не правильно что то сейчас доказал? Меня смущает тот факт, что по идее дифференциалы $d \xi^2$ и $d \xi^1$ можно взять любыми и тогда их отношение не будет равно $0$. А вот если бы сказать что $\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi^1}=0$, то тогда мне всё понятно и этот факт не вызывает сомнений. Но в выводе получились абсолютные дифференциалы $d \xi^2$ и $d \xi^1$, а не частные $\partial$...