Локальная формула Тейлора и определение дифференцируемости

[SomePupil]

Сижу и разбираю формулу Тейлора. Зорич индуктивно доказывает теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. В своем доказательстве он использует следующую лемму (209 стр, 2015 года издания):

Если функция $\vaphi\colon E\to\mathbb R$, определенная на отрезке $E=[x_0; x],$ имеет в точке $x_0$ все производные до порядка $n$ включительно, и $\varphi(x_0) = \varphi’(x_0)=\ldots=\varphi^{(n)}=0$, то $\varphi(x)=o((x-x_0)^n)$ при $x\to x_0, x\in E.$

В ходе доказательства он приводит один аргумент, который я не понял:

Зорич писал(а):

...поскольку

$$\varphi^{(k)} = (\varphi^{(k-1)})’(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0, x\in E} \frac{\varphi^{(k-1)}(x)-\varphi^{k-1}(x_0)}{x-x_0},$$

то существование $\varphi^{(k)}(x_0)$ предполагает, что функция $\varphi^{(k-1)}(x)$ определена на $E$ хотя бы вблизи точки $x_0$. Уменьшая, если нужно, отрезок $E$, можно заранее считать, что функции $\varphi(x), \varphi’(x),\ldots,\varphi^{(k-1)}(x),$ где $k \geq 2$, определены на всем отрезке $E$ с концом $x_0.$

То есть, Зорич де юре утверждает, что если функция $k$ раз дифференцируема в точке $x_0$, то она $k-1$ раз дифференцируема в некоторой окрестности $x_0$.

Но ведь легко построить контрпример: $f(x) = \frac 1n$ при $x = \frac 1n, n \in \mathbb N$ и $f(0) = 0$. Для этой функции $f’(0) = 1$, но $f(x)$ не определена ни в какой окрестности точки $x_0$. Или я чего-то не понял?

В принципе, можно было бы дать другое определение дифференцируемости в точке, а именно, потребовать, чтобы функция была определена в некоторой окрестности этой точки. Но, приняв такое определение, мы лишились бы возможности вычислять производные в некоторых предельных (не внутренних) точках области определения функции.

P. S. Хотя, надо признать, (может быть, по недостатку опыта?) мне встречались только бесконечно дифференцируемые функции. Очень редко было так, чтобы функция была дифференцируема $k$ раз и не имела $k+1$-ой производной в точке. Да и в тех случаях, когда это было, я что-то не припоминаю, чтобы мне понадобилось вычислять производную в невнутренней точке. Тем не менее, в поднятый вопрос упирается также правило Лопиталя.

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1187466 писал(а):

Но ведь легко построить контрпример: $f(x) = \frac 1n$ при $x = \frac 1n, n \in \mathbb N$ и $f(0) = 0$. Для этой функции $f’(0) = 1$, но $f(x)$ не определена ни в какой окрестности точки $x_0$. Или я чего-то не понял?

Напишите здесь определение производной (односторонней производной).

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1187474 писал(а):

Напишите здесь определение производной (односторонней производной).

$$\lim\limits_{x\to 0, x\in\{1/n\}} \frac{f(x)}{x} = \frac xx = 1,$$

тут $n\in \mathbb N$, так что $x$ приближается к нулю справа.

[bot]

Нет, такой хоккей нам не нужен. (с)
SomePupil, Найдите у Зорича или хотя бы у кого-нибудь определение производной столь дырявой функции.

[Brukvalub]

SomePupil, вы не свои "измышления о производной" пишите, они никому не интересны, а ОПРЕДЕЛЕНИЕ из учебника выпишите здесь.

[SomePupil]

Вот определения из Зорича:

Цитата:

Функция $f\colon E\to \mathbb R$, определенная на множестве $E \subset \mathbb R$, называется дифференцируемой в точке $a\in E$, предельной для множества $E$, если существует такая линейная относительно приращения $x-a$ аргумента функция $A\cdot (x-a)$, что приращение $f(x)-f(a)$ функции представляется в виде

$$f(x)-f(a) = A\cdot (x-a) + o(x-a) \text{при } x\to a, x\in E.$$

Цитата:

Величина

$$f’(a) = \lim\limits_{x\to a, x\in E} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

называется производной функции в точке $a$.

В чем проблема?

-- 26.01.2017, 11:08 --

bot в сообщении #1187480 писал(а):

столь дырявой функции.

"Дырявость" функции роли не играет, как я понял. Важно только то, входит ли точка в область определения и является ли она для неё предельной. Нуль $-$ предельная точка области определения моей функции. Производная в ней существует и равна, как я показал, единице.

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1187486 писал(а):

В чем проблема?

Проблемы нет. Смотрим сюда:

SomePupil в сообщении #1187466 писал(а):

Если функция $\vaphi\colon E\to\mathbb R$, определенная на отрезке $E=[x_0; x],$

и сюда:

SomePupil в сообщении #1187466 писал(а):

Но ведь легко построить контрпример: $f(x) = \frac 1n$ при $x = \frac 1n, n \in \mathbb N$ и $f(0) = 0$

Видите разницу между вашим примером и условием теоремы у Зорича?
Кроме того, Зорич здесь явно перестарался с "общностью", вот и попался. Обычно в условии той теоремы явно указывают, что предпоследняя производная должна быть определена в каком-либо интервале с концом в рассматриваемой точке, или в определении производной сразу же требуют, чтобы функция была определена в каком-либо интервале с концом в точке, где берется соответствующая односторонняя производная. Похоже, Зорич в определении производной погнался за максимальной общностью, вот и...

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1187492 писал(а):

Обычно в условии той теоремы явно указывают, что предпоследняя производная должна быть определена в каком-либо интервале с концом в рассматриваемой точке

Да, пожалуй, это самый оптимальный вариант. Кроме того, Зорич в одном из параграфов обещал, что формула Тейлора будет выведена более естественно, через интегралы. Там, наверное, не будет такой занозы.

Brukvalub в сообщении #1187492 писал(а):

Видите разницу между вашим примером и условием теоремы у Зорича?

Да, вижу, но прокол в авторских рассуждениях все-таки есть.

Brukvalub в сообщении #1187492 писал(а):

Похоже, Зорич в определении производной погнался за максимальной общностью, вот и...

Не столько за общностью, сколько за ясностью. Мне нравится такое определение.

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1187493 писал(а):

Да, вижу, но прокол в авторских рассуждениях все-таки есть.

Прокол есть, но ваш "контрпример" тоже в протокол не лезет!

SomePupil в сообщении #1187493 писал(а):

Не столько за общностью, сколько за ясностью. Мне нравится такое определение.

Действительно, своим вопросом вы только что показали, какой кристальной ясности понимания можно достичь, постигая это определение!

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1187495 писал(а):

Прокол есть, но ваш "контрпример" тоже в протокол не лезет!

Современный Шерлок Холмс оценивал сложность дела в количестве никотиновых пластырей, нужных ему, чтобы раскрыть это дело. Я приведу нужный контрпример за четырнадцать чашек чая!

[SomePupil]

Я недооценил задачу — мне понадобилось аж сорок три c половиной чашек чая.

Контрпример $f(x)\colon[0;1]\to \mathbb R, f(0) = 0, f(x) = \frac1n + \frac1{n^2}(x-\frac1n)$ при $\frac{1}{n+1} < \frac1x \leq \frac1n, n\in\mathbb N.$ Это совокупность отрезков, проходящих через точки $(\frac1n, \frac1n)$ с угловым коэффициентом $\frac1{n^2}.$

Первая производная в нуле:

$$\lim\limits_{x\to 0+} \frac{f(x)}{x} = 0.$$

Вторая производная нуле:

$$\lim\limits_{x\to 0+} \frac{f’(x)-f’(0)}{x} = 0.$$

И, самое главное, в любом отрезке $[0;\xi]$ найдется точка, в которой первой производной не существует.

Действительно, при $0 < x < \delta=\frac1N$, точка $x$ попадает между дробями, удовлетворяющими неравенствам $\frac{1}{n+1} < x \leq \frac1n \leq \frac1N,$ откуда $\frac{f(x)}{x} = \frac{\frac{1}{n^2}(x+\frac{n-1}n)}{x} = \frac1{n^2}(1+\frac{n-1}{nx}) < \frac1{n^2}(1+\frac{n^2-1}{n}) \to 0$ при увеличении $n$. Значит, $f'(0)=0.$

Далее, $\frac{f’(x)-f’(0)}{x} = \frac{f’(x)}{x} = \frac{1}{n^2x} < \frac{n+1}{n^2}$, откуда $f’’(0) = \lim\limits_{x\to 0+} \frac{f’(x)}{x} = 0.$

Ну и наконец, в любой точке $\frac1n, n>1$ первой производной не существует, потому что слева и справа получаются разные значения этой производной: $\lim\limits_{x\to \frac1n + 0} f’(x) = \frac1{(n-1)^2}$, тогда как $\lim\limits_{x\to \frac{1}{n}-0} f’(x) = \frac1{n^2}$. Чтд!

(Оффтоп)

P. S. Я опаздываю на Чингиза Айтматова!

[DeBill]

SomePupil в сообщении #1187523 писал(а):

Первая производная в нуле:

$$\lim\limits_{x\to 0+} \frac{f(x)}{x} = 0.$$

Неправда Ваша: в точках $x= \frac{1}{n}$, дробь слева равна 1. Так что нет первой производной в нуле.
И ваще, зря на Зорича наехали: его определение сработает и на дырявых множествах. Надо токо, чтоб точка была предельной для предельных точек (ну, для второй производной. И аналогично - для высших)

[ewert]

DeBill в сообщении #1187535 писал(а):

зря на Зорича наехали: его определение сработает и на дырявых множествах.

Не зря, у Зорича действительно глюк. Определение-то, может, и сработает (другое дело, что оно никому не нужно). Только ведь речь-то о Тейлоре. И доказывает он его, как и все нормальные люди, ссылкой на Лагранжа. А какой может быть Лагранж, если дырки?

[Brukvalub]

DeBill в сообщении #1187535 писал(а):

И ваще, зря на Зорича наехали: его определение сработает и на дырявых множествах. Надо токо, чтоб точка была предельной для предельных точек (ну, для второй производной. И аналогично - для высших)

Но у Зорича при таком определении возникает логическая "дыра" : он хочет автоматически получить, чтобы, если в нек. точке есть производная высокого порядка, то в окрестности этой точки была бы определена производная предыдущего порядка, а при используемом им определении такого не будет.
Увижу Зорича - спрошу его, как он собирается выпутываться из этой коллизии.

[ewert]

Нет никакой коллизии. Он при определении производной высшего порядка предполагает, что производная предыдущего порядка определена на всём множестве. Правда, делает это неаккуратно: для второй производной этот момент сформулирован чётко, а вот дальше, в общем определении -- зажёван.

При доказательстве же формулы Тейлора он об этом предположении напоминает.

И доказательство (вместе с формулировкой) я прочитал, к сожалению, невнимательно: у него оговорено, что $E$ -- это отрезок. Ну ещё одна небрежность с его стороны: нехорошо обозначать одной и той же буквой и общий случай, и частный. Вот и мне буква $E$ в глаза бросилась, а на слово "отрезок" я внимания не обратил. Так что верно у него всё.