Формула Симпсона

[StaticZero]

При интерполяции функции $f(x)$ полиномом Лагранжа $S(x)$ на сетке $(x_0 = a, x_1, x_2, \ldots, x_{n - 1}, x_n = b)$ верно, что

$$ |f(x) - S(x)| \leqslant \dfrac{1}{(n + 1)!} \max_{[a, b]} |f^{(n + 1)}(x)| \mathcal N_{n + 1}, $$

где $\mathcal N_{n + 1}(x) = (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_n)$ — полином Ньютона.

Если заменить $f(x)$ функцией $S(x)$ и взять интеграл от $a$ до $b$, получим

$$ \int \limits_a^b f(x) \, \mathrm dx = \sum \limits_{k = 0}^n f(x_k) L_k + R, $$

где

$$ L_k = \prod \limits_{j \ne k} \dfrac{x - x_j}{x_k - x_j}, \qquad |R| \leqslant \int \limits_a^b |f(x) - S(x)| \, \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{(n + 1)!} \max_{[a, b]} |f^{(n + 1)}(x)| \int \limits_a^b \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx. $$

В методе Симпсона берётся $x_0 = a, x_1 = \dfrac{a + b}{2}, x_2 = b$. Нетрудно проверить непосредственно, что $\displaystyle \int \limits_a^b \mathcal (x - a)(x - b)\left(x - \dfrac{a + b}{2}\right) \, \mathrm dx = 0$. Таким образом, $|R| \leqslant 0$, и $R = 0$.

Вопрос: куда девается погрешность? Она, очевидно, не является тождественным нулём для всех функций. Но у меня почему-то именно так.

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1187385 писал(а):

При интерполяции функции $f(x)$ полиномом Лагранжа $S(x)$ на сетке $(x_0 = a, x_1, x_2, \ldots, x_{n - 1}, x_n = b)$ верно, что

$$ |f(x) - S(x)| \leqslant \dfrac{1}{(n + 1)!} \max_{[a, b]} |f^{(n + 1)}(x)| \mathcal N_{n + 1}, $$

где $\mathcal N_{n + 1}(x) = (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_n)$ — полином Ньютона.

Сейчас ещё интереснее сделаем: подставим $x$, лежащий между $x_{n-1}$ и $x_n$, и окажется... что модуль отрицательный!

-- 25.01.2017, 20:29 --

Максимум на что действует?

[StaticZero]

Угу. Тогда я вообще теряю нить рассуждений, приводящих к неравенствам.

Исходное утверждение в следующем:

$$ g(x) = f(x) - S(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \mathcal N_{n + 1}, $$

где $\xi = \xi(x)$, $x_0 \leqslant x \leqslant x_n$. Эта штука скачет туда-сюда в смысле знака по мере продвижения по сетке. А где мне интеграл брать? Исходно имеется разложение

$$ f(x) = S(x) + g(x),$$

его мы и будем интегрировать. Имеем

$$ \int f(x) \, \mathrm dx = \int S(x) \, \mathrm dx + \int g(x) \, \mathrm dx, $$

последнее слагаемое представляет собой $R$, обозначенное в первом сообщении темы.

Чтобы $R$ найти, я делаю вот это:

$$ R = \int \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx. $$

$$ |R| = \left|\int \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx \right| \leqslant \dfrac{\max |f^{(n + 1)}|}{(n + 1)!} \left| \int \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx\right| = 0. $$

(Оффтоп)

Нули прут из всех щелей!

-- 25.01.2017, 19:39 --

Slav-27 в сообщении #1187389 писал(а):

Максимум на что действует?

На $|f^{(n + 1)}|$.

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1187392 писал(а):

$$ R = \int \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx. $$

$$ |R| = \left|\int \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx \right| \leqslant \dfrac{\max |f^{(n + 1)}|}{(n + 1)!} \left| \int \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx\right| = 0. $$

Что это вы сделали? Откуда взялось такое неравенство? Оно неверное.

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1187385 писал(а):

Вопрос: куда девается погрешность? Она, очевидно, не является тождественным нулём для всех функций. Но у меня почему-то именно так.

Как известно (докажите это!), формула Симпсона точна на многочленах до третьей степени. Вы взяли многочлен третьей степени и проверили, что для него формула Симпсона точна. Расхождений с теоремой нет.

[StaticZero]

Brukvalub в сообщении #1187441 писал(а):

Вы взяли многочлен третьей степени и проверили, что для него формула Симпсона точна

Но я не брал многочлен третьей степени... $f$ же произвольная.

Slav-27 в сообщении #1187433 писал(а):

Что это вы сделали?

Модули взял. Почему неверное? Модуль произведения же равен оизведению модулей.

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1187443 писал(а):

Но я не брал многочлен третьей степени... $f$ же произвольная.

Разве не вы это написали:

StaticZero в сообщении #1187385 писал(а):

В методе Симпсона берётся $x_0 = a, x_1 = \dfrac{a + b}{2}, x_2 = b$. Нетрудно проверить непосредственно, что $\displaystyle \int \limits_a^b \mathcal (x - a)(x - b)\left(x - \dfrac{a + b}{2}\right) \, \mathrm dx = 0$. Таким образом, $|R| \leqslant 0$, и $R = 0$.

?

[StaticZero]

Интерполянт же $S(x)$, которых в трёх точках совпадает с $f$.

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1187443 писал(а):

Почему неверное? Модуль произведения же равен оизведению модулей.

А у вас не модуль произведения, а модуль интеграла.

Если в правой части модуль поставите под интегралом -- то будет верно, но тогда будет уже не 0.

[ewert]

Лучше так.

StaticZero в сообщении #1187385 писал(а):

$$|R| \leqslant \int \limits_a^b |f(x) - S(x)| \, \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{(n + 1)!} \max_{[a, b]} |f^{(n + 1)}(x)| \int \limits_a^b \mathcal N_{n + 1}(x) \, \mathrm dx. $$

Да, конкретно у Симпсона узлы -- равноотстоящие и последний интеграл действительно равен нулю. Но ведь ровно те же манипуляции можно проводить и для неравноотстоящих узлов (в формуле для погрешности интерполяции узлы могут быть какими угодно). И тогда тот интеграл запросто может оказаться и отрицательным. Т.е. неотрицательное число слева будет меньше отрицательного справа.

Ничего не настораживает?...

[StaticZero]

Да, я осознал, почему под интегралом надо модуль брать. Спасибо за ответы, и извините за молчание.