Математический маятник и затухание колебаний.

[Metford]

NL0 в сообщении #1186816 писал(а):

сила центробежная

А в какой системе отсчёта Вы работаете?

NL0 в сообщении #1186816 писал(а):

центростремительная

А это кто такое?

NL0 в сообщении #1186816 писал(а):

сила трения

Откуда?

NL0 в сообщении #1186816 писал(а):

Под действием силы тяжести начинает движение

А потом она отключается?

Есть предложение просто взять да и написать уравнение движения для случая малых колебаний математического маятника, чтобы убедиться, что оно такое, как Вам сказали здесь.

[wrest]

Здесь скорее вопрос что такое "маятник", который "движется".

Если например за маятник берем два грузика и пружинку между ними, то внешние силы нужны только чтобы начать движение, а дальше оно бесконечно продолжится само, но разные части такого "маятника" будут двигаться по-разному, а центр масс так и вовсе будет покоиться. Если же за маятник взять только один грузик, то пружина и второй грузик будут прикладывать к нему внешние усилия.

[DimaM]

wrest в сообщении #1186844 писал(а):

Здесь скорее вопрос что такое "маятник", который "движется".

ТС писал про математический маятник. Вопрос, что это такое, не должен возникать ни у кого из пишущих в тему.

[Shtorm]

NL0 в сообщении #1186816 писал(а):

Под действием силы тяжести начинает движение, а потом в движении действует сила трения, сила центробежная и центростремительная.

А сила тяжести-то куда девается? Она продолжает действовать всегда! Если только маятник не в дальнем глубоком космосе Если же на какое-то тело подействовать силой, а потом убрать эту силу, то тело будет так и двигаться по направлению этой силы, если действием других сил пренебречь (и если тело не во что не врезается ). А маятник же отклонившись от положения равновесия возвращается обратно. Вопрос - какая сила его возвращает? Потом в другую сторону отклонился - и снова возвратился в положение равновесия. Опять таки - какая сила его возвращает? И так далее. Естественно, если пренебречь силой трения и силой сопротивления среды (воздуха), то колебания не затухнут никогда!

[Kamaz]

Что такое центростремительная сила? И откуда там центробежная? Последняя существует только в неинерциальных СО

[Shtorm]

NL0 в сообщении #1186728 писал(а):

Если рассмотрим математический маятник, колебания осуществляются по закону $x=x_0\cos(\omega t+\varphi)$.
.....

Следует также заметить, что по такому закону, колебания осуществляются только при малых углах отклонения маятника. При больших углах отклонения уже не косинус или синус, а другая функция, но тоже периодическая, а именно эллиптическая функция Якоби или синус Якоби. Жаль, что об этом не говорят в школах, а в вузах далеко не во всех говорят, да и в книгах это не во всех описано.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1187238 писал(а):

Жаль, что об этом не говорят в школах

О том, что только в приближении малых отклонений работает синус, или о том, каков точный вид в общем случае? Второе в школе вряд ли принесёт пользу, а первое в учебнике обычно всё-таки пишется, читающий его да увидит, даже если по какой-то причине не услышит.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1187241 писал(а):

....первое в учебнике обычно всё-таки пишется, читающий его да увидит, даже если по какой-то причине не услышит.

Да, в основном пишут. НО! не пишут о том, что же будет на больших углах? Я не говорю, что в школе надо давать определение неэлементарных функций, не говорю, что надо давать понятие эллиптических интегралов и обратных к ним функций. Но я считаю, что надо просто оговаривать это так, как я выше написал. Ну или не так, а вот так например:

Цитата:

Следует также заметить, что по такому закону, колебания осуществляются только при малых углах отклонения маятника. При больших углах отклонения уже не косинус или синус, а другая функция, но тоже периодическая. Более подробную информацию Вы получите, если поступите в специализированные вузы. А если хотите узнать это сейчас, то останьтесь после урока.

Примерно тоже самое следует говорить в вузах на лекциях по физике при рассмотрении математического маятника. Причём не важно, для какой специальности читается курс физики. А то, что мы имеем в итоге? Некоторые рядовые вузовские преподаватели физики не знают, что ответить на вопрос: "А что будет при больших отклонениях?" И никогда не слышали про эллиптические функции Якоби. У некоторых преподавателей сие незнание, вкупе с вопросом об этом, порождает вредную бредогенерацию.

[DimaM]

Shtorm
По моему опыту, максимум, что школьники могут усвоить, это зависимость частоты от максимального угла отклонения $(\sim 1-\alpha_0^2/16)$. Еще, возможно, изменение характера движения при увеличении энергии и соответствующие кривые на фазовой плоскости.
Говорить им про эллиптические функции, как минимум, бесполезно.

[Shtorm]

DimaM, так я и не говорю, что надо это на уроке объяснять. На уроке надо сделать оговорку, что на больших углах другое уравнение, другая функция. А кому интересно - останутся после уроков. А вот те школьники, которые ради вопросов физики остаются после уроков - это совсем другие ребята. Им можно сказать, что есть такая функция - синус Якоби. График этой функции вот такой. Она описывает колебание маятника вот так-то и так-то в тех-то и тех-то случаях. Ребят, если кому интересна и математика, можете остаться, я объясню как получается синус Якоби. Откуда он вообще вылез.

[Metford]

Shtorm в сообщении #1187238 писал(а):

Жаль, что об этом не говорят в школах, а в вузах далеко не во всех говорят, да и в книгах это не во всех описано.

По-моему в школе было бы достаточно просто пару графиков привести, которые бы показывали, как будет меняться угол отклонения от вертикали со временем. Причём графиков должно быть именно несколько для разных начальных отклонений, чтобы было видно, что сначала на синус ещё более или менее похоже, но чем дальше - тем меньше схожести.
В общих курсах физики для первого курса общий случай не рассматривается, но всегда оговаривается область применимости. Я обычно приговариваю вкратце, что будет для больших углов. На вывод времени как-то нет, да и семинар в лекцию превращать негоже, а на дом не задашь.

Многие потом изучают теоретическую механику, там это иногда затрагивают (я не книги имею в виду, а занятия). Что же касается эллиптических функций, то о них, насколько я понимаю, даже в курсе специальных функций не всегда говорят. Преимущественно обсуждают с разных сторон всякие функции Бесселя и им подобные. Хотя на мой взгляд это по большей части переписывание справочника. Лучше бы и для эллиптических функций время нашли...

[Shtorm]

Metford в сообщении #1187304 писал(а):

По-моему в школе было бы достаточно просто пару графиков привести, которые бы показывали, как будет меняться угол отклонения от вертикали со временем. Причём графиков должно быть именно несколько для разных начальных отклонений, чтобы было видно, что сначала на синус ещё более или менее похоже, но чем дальше - тем меньше схожести.

Да, графики приводить надо. Но если на этом и остановиться, то у школьников может сложиться впечатление, что вот на малых углах, колебания хорошо описываются математической функцией, а чем больше угол отклонения - тем всё хуже и хуже описывается. Чтобы разбить такое ложное представление, надо обязательно сказать, что есть другая математическая функция, которая точно описывает колебания на больших углах отклонения - да и на малых углах отклонения тоже.

Metford в сообщении #1187304 писал(а):

В общих курсах физики для первого курса общий случай не рассматривается, но всегда оговаривается область применимости.

.
Это да. Но любой студент провинциального вуза технической специальности встанет в тупик, если его спросить, а что же будет на больших углах. Как показывает мой опыт, и преподаватели тоже встают в тупик либо начинают нести бред. Надо все же оговаривать на лекциях "..есть другая математическая функция, которая точно описывает колебания на больших углах отклонения - да и на малых углах отклонения тоже." Всего одна короткая фраза, зато как она изменит миропонимание студентов! (и особенно тех студентов, которые станут потом преподавателями).
А вот кстати у меня вопрос: почему ни Савельев, ни Сивухин, ни Матвеев, ни остальные авторы курса общей физики не удосужились хотя бы вставить такую коротенькую фразу в свои учебники? Или кто-то всё же вставил? Иродова не смотрел, а в Ландау-Лифшице вроде тоже нет?

Metford в сообщении #1187304 писал(а):

Я обычно приговариваю вкратце, что будет для больших углов. На вывод времени как-то нет, да и семинар в лекцию превращать негоже, а на дом не задашь.

А как насчёт методички? Аудиторных часов не хватает, может тогда компенсировать индивидуальным теоретическим домашним заданием по методичкам кафедры?

Metford в сообщении #1187304 писал(а):

Многие потом изучают теоретическую механику, там это иногда затрагивают (я не книги имею в виду, а занятия).

Да, тоже от вуза и от преподавателя зависит. Нелинейные динамические системы конечно же не во всякой теоретической механике проходят.

Metford в сообщении #1187304 писал(а):

Что же касается эллиптических функций, то о них, насколько я понимаю, даже в курсе специальных функций не всегда говорят. Преимущественно обсуждают с разных сторон всякие функции Бесселя и им подобные. Хотя на мой взгляд это по большей части переписывание справочника. Лучше бы и для эллиптических функций время нашли...

Да, с учётом такого яркого физического применения, надо бы их рассматривать.
Кстати, а вот такой вопрос. В курсе общей физики, после рассмотрения свободных незатухающих колебаний, рассматриваются затухающие колебания и вынужденные колебания. Соответственно этим случаям пишутся дифференциальные уравнения. А в случае с эллиптической функцией Якоби, где-нибудь рассмотрены затухающие и вынужденные колебания?

[DimaM]

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

А в случае с эллиптической функцией Якоби, где-нибудь рассмотрены затухающие и вынужденные колебания?

А является ли эллиптическая функция решением уравнения $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega^2\sin x=0$ ?

[Metford]

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

Чтобы разбить такое ложное представление, надо обязательно сказать, что есть другая математическая функция, которая точно описывает колебания на больших углах отклонения - да и на малых углах отклонения тоже.

Конечно.

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

Иродова не смотрел, а в Ландау-Лифшице вроде тоже нет?

У Ландау в первом томе выводится (в задаче) период. Про Иродова сказать не могу: в старом издании этого точно нет, а более свежего у меня под рукой нет. Но по-моему там этого нет. Завтра попробую проверить.

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

А как насчёт методички? Аудиторных часов не хватает, может тогда компенсировать индивидуальным теоретическим домашним заданием по методичкам кафедры?

Я лелею мечту написать нечто такое. Оно в принципе практически написано. И точное решение задачи о математическом маятнике там есть. Но выйдет ли эта штука за пределы моего компьютера - не знаю...

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

Да, с учётом такого яркого физического применения, надо бы их рассматривать.

Их иногда в продвинуты курсы ТФКП включают по понятным причинам. Только эти курсы читаются ещё меньшему числу людей, чем теоретическая механика.

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

А в случае с эллиптической функцией Якоби, где-нибудь рассмотрены затухающие и вынужденные колебания?

Хороший вопрос. Попробовал быстренько пробежаться по имеющейся на компьютере литературе - ничего такого не нашёл. Нужно повозиться с этим делом, посмотреть. На вопрос DimaM ответить.

[dsge]

Shtorm в сообщении #1187391 писал(а):

А в случае с эллиптической функцией Якоби, где-нибудь рассмотрены затухающие и вынужденные колебания?

В случае нелинейных колебаний с трением и возмущающей силой просто так проинтегрировать не получится. Надо разложить по малым параметрам и усреднить, тогда можно получить решение в виде асимптотического ряда по параметру, первое приближение как раз и будет функция Якоби, а последующие будут ее использовать как данное. Самое интересное будет в резонансах, типа хаотического поведения и странных аттракторов. Что-то изложено в книге Гукенхеймер и Холмс "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей", независимо это проделал математик их Нижнего Новгорода - Морозов.
По отдельности малые трение и периодические возмущения рассматриваются в книгах по асимптотическим методам - Найфэ, Боголюбов и Митропольский, Моисеев Н.Н.