Матожидание максимума n гауссовских случайных величин

[alhimikoff]

Есть сигнал + шум, заданный n отсчётами.
Сигнал нормируется делением на своё максимальное значение.
На какое значение скорее всего будет нормирован сигнал?
Надо значит найти $E[(erf(\frac{x}{\sigma\sqrt{2}}))^n]$
Что можно сказать при $n\to\infty$?

[DeBill]

alhimikoff
Шум - нормальный, с нулевам средним и заданной сигмой?
Отсчеты - дают независимые реализации?

alhimikoff в сообщении #1186862 писал(а):

делением на своё максимальное значение.

По модулю? Или на честный максимум (мо быть, отрицательный)?

alhimikoff в сообщении #1186862 писал(а):

скорее всего

Найти НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЕ ($=$ точку максисума плотности) или таки СРЕДНЕЕ ($=$ матожиданию)?

alhimikoff в сообщении #1186862 писал(а):

Надо значит

ПОчему так??? И откуда - корень из двух...
В качестве попытки решения (без пояснений) - не, не засчитывается...

[alisa-lebovski]

Попробуйте найти книжку Введение в теорию порядковых статистик. М.: Статистика, 1970.
Там есть глава 12 "Моменты порядковых статистик и размаха в выборках из совокупности с нормальным распределением" (Г.Рубин) - как раз об этом.

[alhimikoff]

DeBill
Нормировка по максимуму модуля, шум - классический АБГШ.
Моделирование показывает что выборочная дисперсия нормированного сигнала (можно взять просто шум) практически не зависит от сигмы шума (когда она больше 1) и числа отсчётов. Интересно к чему она в итоге стремится.
По идее должна стремиться к нулю, должен же на очень длинной выборке найтись очень большой отсчёт, но что-то на это совсем не похоже.

[alhimikoff]

alisa-lebovski в сообщении #1186930 писал(а):

Попробуйте найти книжку Введение в теорию порядковых статистик. М.: Статистика, 1970.
Там есть глава 12 "Моменты порядковых статистик и размаха в выборках из совокупности с нормальным распределением" (Г.Рубин) - как раз об этом.

Да, похоже, сложный вопрос. Но там вроде не даётся асимптотических оценок.

[alisa-lebovski]

Асимптотика также известна науке, ее можно найти в книжке
М.Лидбеттер, Г.Линдгрен, Х.Ротсен "Экстремумы случайных последовательностей и процессов". М.: Мир, 1989.
Теорема 1.5.3 на с. 25 для стандартного нормального распределения. Дисперсия действительно должна стремиться к нулю, но медленно, как O(1/$\ln n)$. В свою очередь среднее растет как $\sqrt{2\ln n}$.

[alhimikoff]

alisa-lebovski
Спасибо. Исчерпывающий ответ