Два неравенства

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1186669 писал(а):

Что со вторым?

А что с ним? Оно при $x=y=z$ не выполняется. И правила мы тут нарушаем. Даём готовые решения.

[deep blue]

Второе после поправки ТС(что оно нестрогое) вроде выполняется. Можно рассмотреть разность правой и левой частей и доказать что она неотрицательна. Вот эти дроби

Rusit8800 в сообщении #1186512 писал(а):

$$\[\frac{{y - x}}{{y(y + 1)}} + \frac{{z - y}}{{z(z + 1)}} < \frac{{z - x}}{{z(z + 1)}}\]$$

"раздвойте" и разнесите по левым и правым частям чтобы знак перед каждой дробью был положителен. Получится легенькое неравенство.
PS А впрочем о чем это я, DeBill же все давно показал

[alhimikoff]

DeBill в сообщении #1186604 писал(а):

Rusit8800
Первое неравенство доказать будет, видимо, ОЧЕНЬ трудно, потому что оно не всегда верно....
Второе неравенство: оно не симметрично (а лишь циклически-симметрично). Поэтому Вы не вправе предполагать "по возрастанию", надо еще посмотреть случай "по убыванию"...

Первое кажется верно
Домножим равенство на $a^2$, добавим равенство умноженное на $b^2$, учтём неравенство
В итоге
$2a^2 +2b^2 \geqslant 4 - a^2b^2(b-a)$
Пусть a<b, значит $a^3<b^3$, значит $2+b^3=a^3<b^3$, значит 2<0

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1186614 писал(а):

Но в таком виде неравенство очевидно (представьте $z-x = (z-y) + (y-x)$, и посмотрите на знаменатели).

Блин, точняк...

-- 23.01.2017, 19:05 --

DeBill в сообщении #1186604 писал(а):

Второе неравенство: оно не симметрично (а лишь циклически-симметрично). Поэтому Вы не вправе предполагать "по возрастанию", надо еще посмотреть случай "по убыванию"...

В смысле циклически-симметрично?

-- 23.01.2017, 19:06 --

Если использовать ваш метод, то возрастание и убывание не имеют большой разницы.

-- 23.01.2017, 19:09 --

DeBill в сообщении #1186614 писал(а):

Э, это зависит от: 2 или 3 у ТС.....

Спасибо.

-- 23.01.2017, 19:11 --

grizzly в сообщении #1186668 писал(а):

Немного не понятен переход.

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1186889 писал(а):

Немного не понятен переход.

Зато Вы очень понятно объяснили, какой именно переход Вам непонятен
Давайте подробно.

1. Строка 1:
Раскрыли скобки и вынесли в правой части общий множитель за скобки.

2. Переход от строки 1 к строке 2:
2.а. Левая часть.
По условию $a^3-b^3=2$. Заменяем слева $a^3-b^3$ на 2.
2.б. Правая часть.
Поскольку $a-b>0$ (если этот момент неясен, мы его обсудим подробно отдельно), то $a^5-b^5+a^2b^2(a-b)\ge a^5-b^5 \ge 4 $ (последнее -- по условию).
2.в. Соединяем.
$2(a^2+b^2)=a^5-b^5+a^2b^2(a-b)\ge a^5-b^5 \ge 4 $.

3. Переход от строки 2 к строке 3.
Делим правую и левую части неравенства на 2.

Теперь я смог понятно объяснить?

[Rusit8800]

Да, спасибо

-- 23.01.2017, 20:07 --

grizzly в сообщении #1186898 писал(а):

$a^5-b^5+a^2b^2(a-b)\ge a^5-b^5 \ge 4 $

Хотя стоп, все числа положительны, когда $a^2b^2(a-b)$ может занулиться?

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1186901 писал(а):

Хотя стоп, все числа положительны

Вам по условию не дано, что все они положительны. Это ещё нужно отдельно проверять / аргументировать. А для решения Вашей задачи необходимости в этом нет.

[Rusit8800]

Ну не знаю, это из ВОШ 2012 года, регион, 9 класс.

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1186905 писал(а):

Ну не знаю, это из ВОШ 2012 года, регион, 9 класс.

Ну тогда я тоже не знаю. На официальном сайте олимпиады решение практически буква в букву совпадает с моим.

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1186889 писал(а):

В смысле циклически-симметрично?

Имелось в виду: неравенство переходит в себя при ЧЕТНОЙ перестановке переменных (у симметричного - при любой перестановке). Так что на реальной олимпиаде: за нерассмотренный случай - потеряете половину баллов

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1186968 писал(а):

Имелось в виду: неравенство переходит в себя при ЧЕТНОЙ перестановке переменных (у симметричного - при любой перестановке). Так что на реальной олимпиаде: за нерассмотренный случай - потеряете половину баллов

Можно пример?

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1191957 писал(а):

Можно пример?

Да Ваше неравенство и годится: запишите его для чисел 3,4 и 5, и убедитесь, что переобозначениями переменных не получится неравенство для чисел 5,4, 3: разные наборы чисел получились....