Угол между диагоналями четырехугольника

[Побережный Александр]

DeBill в сообщении #1186594 писал(а):

mihailm
Ну да, вроде, все получится.
Единственное ограничение на существование чет-ка: наибольшая сторона меньше суммы трех других (и тогда под корнем все положительно). Шарнирно деформируя, можем добиться вписанности - и, значит, мах достигается...

Всегда ли при фиксированных сторонах четырехугольника, шарнирно деформируя, можно расположить его вершины на одной окружности?
Для меня это не очевидно...

[grizzly]

Побережный Александр в сообщении #1186806 писал(а):

Всегда ли при фиксированных сторонах четырехугольника, шарнирно деформируя, можно расположить его вершины на одной окружности?
Для меня это не очевидно...

Хм.. странно. Возьмём три стороны поменьше и рассмотрим относительно них предельно возможные конфигурации для четвёртой стороны (относительно окружности, проходящей через 3 точки первых трёх сторон). Разве интуитивно не очевидно, что в одной предельной конфигурации четвёртая точка будет лежать внутри круга, а в другой -- снаружи?

[DeBill]

Побережный Александр
Ну, можно попробовать так:
Пусть уже какой-то выпуклый $ABCF$ есть. Будем увеличивать угол $A$, Его косинус будет убывать, а сторона $BF$ - расти. Значит, будет расти угол $C$. Тогда сумма угдов $B$ и $F$ будет убывать, так что хотя бы один из них уменьшится, но тогда и другой - уменьшится (из рассуждений как в начале).Итак, все углы меняются монотонно.
Итак, будем увеличивать $A$, пока чет-к остается выпуклым. Что будет в предельном случае? Либо один из углов станет равен 180 (и это - обязательно $A$ или $C$), либо кто-то станет равен 0 (и это - только $B$ или $F$). В обоих предельных случаях сумма углов $A$ и $C$ будет больше 180.
Аналогично, при уменьшегии угла $A$, в предельном случае эта сумма станет меньше 180.
По непрерывности, будет положение, когда сумма в точности равна 180. Такой - вписанный!

[Побережный Александр]

Спасибо! Все понял.