Вопросы о ренормгруппе

[Phx]

Здравствуйте, у меня возникло несколько общих вопросов по перенормировке функций Грина (работаю в физике конденсированного состояния). С перенормировкой сталкиваюсь впервые в работе (не считая учебных курсов в магистратуре, я аспирант).
Для полноты изложения начну немного со стороны.
Исходно у меня есть "голый" двухточечный коррелятор вида

$G_0(r)=\frac{1}{r}$

Где $r=\sqrt{x^2+V^2t^2}$, $V$-некая скорость.

Затем я хочу перенормировать мою теорию не по схеме Вильсона, а меняя cutoff в реальном пространстве (естественный cutoff у меня связан с постоянной решетки, я его назову $r_0$). Я могу написать также уравнение Каллана-Симанчика в виде:

$[\partial/\partial(\log r) +\beta(\lambda)\partial/\partial(\lambda)+2\gamma(\lambda)]G(r,\lambda)=0 $

Где моя Бета-функция и аномальная размерность имеют вид ($\lambda>0$-константа связи):

$\beta(\lambda)=-\lambda^2 \par \gamma(\lambda)=\frac{1}{2}-\lambda $

Имеем здесь асимптотическую свободу:

$ \lambda(r) =\frac{\lambda_0}{1+\lambda_0\log(r/r_0)}$

Общее решение для уравнения Каллана-Симанчика для нашего случая можно записать в виде (пропущу один шаг выкладок)

$ G(r)=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\lambda_0}{\lambda(r)}} \sum_m F_m(r)\lambda^m(r)$

Функции $F_m(r)$ здесь могут быть найдены прямым расчетом коррелятора по теории возмущений. Скажем, в нулевом $F_0=1$ (ежели никакого потока нет мы должны восстанавливать свободную теорию в нулевом порядке). Далее, если мы имеем конформную теорию поля на кольце по $x$-координате, то мы знаем, что в нулевом порядке (сворачивая плоскость в цилиндр):

$G(r)=\frac{\pi}{L\sin(\pi r/L)}$

Соответственно теперь

$F_0 \sim \frac{\pi r/L}{\sin(\pi r/L)}$

Мне казалось я это понимаю, пока не надо было обобщать. Возникают следующие вопросы:

1) Я вспоминаю, что коррелятор есть функция двух переменных. Координаты $x$ и времени $t$. То есть вообще говоря голый пропагатор у меня необязательно "изотропный", моя теория тоже на кольце, и там уже затравочная ФГ имеет вид типа $\frac{1}{\sin(x+Vt) \sin(x-Vt)}$. Как тогда будет выглядеть RG-step? Мне нужно варьировать по отдельности координату и время при перенормировке? Как тогда перепишется уравнение Каллана-Симанчика? Нужно ли там сохранять логарифмическую производную по $r$ или же писать нечто вроде $\partial/\partial(\log x)+\partial/\partial(\log Vt)$
Иными словами, я не понимаю как мне определять "малый масштаб" в теории. Это малые времена, малые координаты, или же малые $r$?
В целом мне казалось, что неважно как перенормировать теорию вообще... Результат должен быть тот же, но я не понимаю как это показать, пользуясь уравнением Каллана-Симанчика.
2) Вообще мне интересен случай систем конечного размера, когда исходные поля удовлетворяют периодическим граничным условиям (когда я их на цилиндр укладываю, как было выше написано), а еще лучше если открытым (поля зануляются на границе). В любом случае появляется масштаб $L$-длина системы. Тогда, по идее, я и его могу перенормировать? В чем будет вообще смысл такой перенормировки длины? В статьях люди держат $r/L$ фиксированным в РГ процедуре, как я понимаю, для удобства?
Или, задам вопрос по-наивному. Каких изменений в РГ-поправках к функции Грина я могу ожидать для системы с периодическими условиями по сравнению с системами с открытыми граничными условиями? Останется ли Бета-функция той же? Просто такое чувство (извините уж за выражение ) что префактор $\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\lambda_0}{\lambda(r)}} $, что буквально вычисляется через Бета-Функцию и аномальную размерность универсальный в смысле независимости его от граничных условий, которые мы накладываем на поля.

Думаю, это не все вопросы, но начну с них. Спасибо!