Формула общего члена последовательности Фибоначи

[Homidov N]

Здрастувуйте ! Слышал что у последовательности Фибоначи есть формула для общего члена . Кто нибудь знает что за формула и как можно доказывать эту формулу ? ( Не судите строго , я школьник .)

[Aritaborian]

Она называется формулой Бине: $F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}$. Доказывается она по индукции.

[Homidov N]

Ну , как я знаю индукция не всегда оказывается прав . Бывает что формула верно для 1 , 2 , 3 но не для 10 , 11 , 12 . Вопрос в том что , как вывели эту формулу ?

[Brukvalub]

Homidov N в сообщении #1186546 писал(а):

Ну , как я знаю индукция не всегда оказывается прав .

Это вы про электро-магнитную индукцию?

[Otta]

Homidov N
Много способов. Про линейные рекуррентные последовательности почитайте.
Немножко тут http://www.mccme.ru/~yasinsky/teaching/D2.pdf есть.

Homidov N в сообщении #1186546 писал(а):

Ну , как я знаю индукция не всегда оказывается прав . Бывает что формула верно для 1 , 2 , 3 но не для 10 , 11 , 12 . Вопрос в том что , как вывели эту формулу ?

Индукция не бывает неправа, Вы неправильно себе ее представляете. При доказательстве по индукции утверждение доказывается "начиная с некоторого номера" - того, для которого утверждение проверялось базой индукции.

Upd Маркушевич "Возвратные последовательности", пожалуй, Вам лучше всего посмотреть. В сети есть. Только не на mccme. Там файл битый.

[Aritaborian]

Homidov N в сообщении #1186546 писал(а):

Ну , как я знаю индукция не всегда оказывается прав

Доказательство по индукции для того и нужно, чтобы доказать, что формула справедлива для всех $n$, начиная с некоторого.
О выводе формулы Бине можете почитать, напр., вот здесь (впрочем, вам будет сложновато).

[Metford]

Aritaborian в сообщении #1186554 писал(а):

О выводе формулы Бине можете почитать, напр., вот здесь
(впрочем, вам будет сложновато).

Мне больше всего нравится вывод с помощью дискретного преобразования Лапласа, но в данном случае он явно не подойдёт...

[Mikhail_K]

Homidov N в сообщении #1186546 писал(а):

Ну , как я знаю индукция не всегда оказывается прав . Бывает что формула верно для 1 , 2 , 3 но не для 10 , 11 , 12 .

То, о чём Вы говорите, называется неполной индукцией, и она действительно бывает что ошибается.
Математическая индукция - это другое, и она ошибаться не может.

[Homidov N]

Спасибо всем !

[Andrey A]

Н.Н. Воробьев Числа Фибоначчи