Два неравенства

[Rusit8800]

1) Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3-b^3=2$, $a^5-b^5 \[ \geqslant \] 4$. Докажите, что $a^2+b^2 \[ \geqslant \] 2$
2) Для любых положительных чисел $\[x,y,z\]$ докажите неравенство

$$\[\frac{{x + 1}}{{y + 1}} + \frac{{y + 1}}{{z + 1}} + \frac{{z + 1}}{{x + 1}} < \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}\]$$

Пытался решить я их так:
1) Разложил $a^5-b^5 \[ \geqslant \] 4$ в $\[(a - b)({a^4} + {a^3}b + {a^2}{b^2} + a{b^3} + {b^4})\[ \geqslant \]4\]$, представил $\[{a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4}\]$ в виде $\[{({a^2} + {b^2})^2} - {a^2}{b^2}\]$ и пользовался равенством $\[(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) = 3\]$, чтобы как-то сократить это выражение.Увы.
2) Так как неравенство симметрическое, то,для определенности, расположил числа по возрастанию так: $\[x \leqslant y \leqslant z\]$. Далее, все что я мог сделать, это представить неравенство в таком виде

$$\[\frac{{y - x}}{{y(y + 1)}} + \frac{{z - y}}{{z(z + 1)}} < \frac{{z - x}}{{z(z + 1)}}\]$$

. Неравенство стало более понятным, но не очевидным. Домножить, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые также не сильно помогло, разность большего выражения и этой суммы равна:

$$x^3 y^2 + x^3 y + x^3 z^2 + x^3 z - x^2 y^2 z + x^2 y^2 - x^2 y z^2 - 2 x^2 y z + x^2 y + x^2 z^2 + x^2 z - x y^2 z^2 - 2 x y^2 z - 2 x y z^2 - 3 x y z + y^2 z^3 + y^2 z^2 + y z^3 + y z^2$$

Какие можете дать указания?

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1186512 писал(а):

1) Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3-b^3=2$, $a^5-b^5 \[ \geqslant \] 4$. Докажите, что $a^2+b^2 \[ \geqslant \] 2$

А если $a^3-b^3$ перемножить с $a^2+b^2$, ничего не выплывет?
PS. Вы нарочно корёжите отображение знаков неравенств с помощью '\['?

[Rusit8800]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1186526 писал(а):

PS. Вы нарочно корёжите отображение знаков неравенств с помощью '\['?

Это не я, а MathType

[sergei1961]

Второе точно верно?

[Rusit8800]

sergei1961 в сообщении #1186540 писал(а):

Второе точно верно?

Больше или равно.

[Shtorm]

Rusit8800 в сообщении #1186512 писал(а):

1) Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3-b^3=2$,......

Пытался решить я их так:
.... $\[(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) = 3\]$.....

Противоречие. Где-то написано неверно.

[mihiv]

1) Неравенство поделите на равенство.

[DeBill]

Rusit8800
Первое неравенство доказать будет, видимо, ОЧЕНЬ трудно, потому что оно не всегда верно....
Второе неравенство: оно не симметрично (а лишь циклически-симметрично). Поэтому Вы не вправе предполагать "по возрастанию", надо еще посмотреть случай "по убыванию"...

[Shtorm]

DeBill в сообщении #1186604 писал(а):

Первое неравенство доказать будет, видимо, ОЧЕНЬ трудно, потому что оно не всегда верно....

Если воспользоваться способом, указанным mihiv, то всё становится довольно прозрачным и простым. Не считаете?

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1186512 писал(а):

$$\[\frac{{y - x}}{{y(y + 1)}} + \frac{{z - y}}{{z(z + 1)}} < \frac{{z - x}}{{z(z + 1)}}\]$$

.

В правой части - опечатка: в знаменателе должОн быть $x$ вместо $z$. Но в таком виде неравенство очевидно (представьте $z-x = (z-y) + (y-x)$, и посмотрите на знаменатели).
Второй случай - аналогичен.
К первому неравенству: оно нарушается, если имеет место равенство, например

-- 22.01.2017, 20:56 --

Shtorm в сообщении #1186607 писал(а):

всё становится довольно прозрачным и простым. Не считаете?

Э, это зависит от: 2 или 3 у ТС.....

[Shtorm]

DeBill в сообщении #1186614 писал(а):

Э, это зависит от: 2 или 3 у ТС.....

А!! Вон в чём дело! Думаю, что с 99-процентной вероятностью, ТС в исходных условиях написал всё верно, а потом в процессе решения просто ошибся или же просто описался тут на форуме.

[sergei1961]

Если первую так:

$$ a^2+b^2=\frac{a^2(a^2+ab+b^2)+b^2(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^4+a^3b+2a^2b^2+ab^3+b^4}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4}{a^2+ab+b^2}= $$

$$ =\frac{a^5-b^5}{a^3-b^3}\ge 2 $$

?

[DeBill]

sergei1961
Упс...
Я это и делал, только знак неравенства в одном месте малость - ну совсем чуть-чуть - перепутался...
Rusit8800
Shtorm
Отзываю свою лажу по первому неравенству...

[grizzly]

Ну раз sergei1961 и DeBill устроили соревнование, кто найдёт более сложный способ решения п.1 то я расшифрую подробности своей подсказки:

grizzly в сообщении #1186526 писал(а):

А если $a^3-b^3$ перемножить с $a^2+b^2$, ничего не выплывет?

Имеем:

$$ (a^2+b^2)(a^3-b^3)=(a^5-b^5)+a^2b^2(a-b) $$ $$ 2(a^2+b^2)\ge 4 \qquad (a-b>0) $$ $$ a^2+b^2\ge 2 $$

[sergei1961]

Про первое: у меня осталось небольшое сомнение, что написанное мною верно для отрицательных чисел. Для положительных вроде верно.

-- 23.01.2017, 00:02 --

grizzly-конечно, Ваше проще, всё здорово. Но своё всегда кажется дороже, не удержался привести. Что со вторым?