Угол между диагоналями четырехугольника

[Побережный Александр]

Задан выпуклый четырехугольник с известными сторонами $a, b, c, f$ и известной площадью $S$.
Найти угол между диагоналями данного четырехугольника.

[DeBill]

Пусть точка пересечения диагоналей делит их на отрезки длины $x,y,z,u$, угол между диагоналями равен $\varphi$.
По теореме косинусов имеем
$a^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \varphi$,
и еще три таких же.
Тогда $a^2 - b^2 + c^2 - f^2 =-2\cos \varphi \cdot (xy +yz +zu+ ux)$.
Но $2S = \sin \varphi \cdot (x+z)(y+u)$.
Поделив одно на другое, получим

(Оффтоп)

формулу, которая мне почему то не была известна

$\ctg \varphi =\frac{f^2 - c^2 + b^2 - a^2}{4S}$

[mihailm]

(Оффтоп)

Интересно, почему четвертая сторона не $d$, а $f$?

[gris]

$d$ для диагоналей

[Побережный Александр]

Доказывал почти так же. Только вводил величины $x, y, (d_1-x), (d_2-y)$. Буква $d$ была задействована, поэтому четвертую сторону обозначил $f$.
Еще одно примечание, стороны $a$ и $c$, соответственно $b$ и $f$, не имеют общих точек.

[mihailm]

Все таки, что-то в этом вопросе недосказано)
Если я хочу найти наибольшую площадь для четырехугольника с заданными сторонами, то какой угол должен взять между диагоналями?

[Sergic Primazon]

mihailm в сообщении #1186302 писал(а):

Все таки, что-то в этом вопросе недосказано)
Если я хочу найти наибольшую площадь для четырехугольника с заданными сторонами, то какой угол должен взять между диагоналями?

Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-f)-abcf \cdot \cos^2\left( \dfrac{A+C}{2}\right)$

[DeBill]

Sergic Primazon в сообщении #1186312 писал(а):

Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

Где-то видел "геометрическое" доказательство:
присобачим к каждой стороне вписанного чет-ка соответствующий сегмент описанного круга.
Считая чет-к шарнирным, деформируем его - вместе с прибамбасами. Полученная фигура имеет тот же периметр, что и круг, так что площадь ее меньше площади круга. Но ихние площади составлены из площадей сегментов (сохранились) и площадей чет-ков. Значит, площадь чет-ка уменьшилась...

(Оффтоп)

Осталось только решить изопериметрическую задачу - и дело в шляпе!

[mihailm]

Получается (согласно Sergic Primazon), что в четырехугольнике со сторонами $a,b,c,d$ угол между диагоналями, ближайший к 90 градусам, равен $\arctg \frac {4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{\sqrt{b^2+d^2-a^2-c^2}}$.
Что довольно прикольно)

[DeBill]

mihailm
Что-то у Вас не ладно с размерностью дроби...
Ну да ладно - ясно, что корень - не там. Просто - диагонали то не постоянны - при фиксированных сторонах, так что насчет ближайшести - не факт. Пример: я возьму чет-к с ортогональными диагоналями, но - не вписанный. И будет - облом.

[mihailm]

DeBill, согласен с первым замечанием.
$\arctg \frac {4\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{b^2+d^2-a^2-c^2}$.
Но четырехугольник с ортогональными диагоналями ничего не опровергнет - справа бесконечность, угол 90 градусов

[gris]

При выводе формулы $\ctg \varphi =\frac{f^2 - c^2 + b^2 - a^2}{4S}$ предполагалось, что четырёхугольник с параметрами $(a,b,c,f,S)$ существует и выпукл.
А далее формула может жить своей жизнью.
Например, если мы рассмотрим выпуклый четырёхугольник со сторонами $(1,1,1,2)$, то его площадь будет ограничена площадью соответствующей равнобедренной трапеции(сверху,включая) и равнобедренного треугольника (снизу, не включая). И, подставляя допустимое значение площади $S$ в формулу, мы получим верное значение угла между диагоналями.
Но если мы попытаемся подставить в эту формулу, скажем, $S=3$, то формула выдаст результат $\ctg \varphi =\frac{2^2 - 1^2 + 1^2 - 1^2}{4\cdot 3 }=\frac14\Longrightarrow \varphi\approx 76^{\circ}$ и не заругается, хотя четырёхугольника с такими параметрами не существует. А большинство формул так себя не ведут. Они показывают или значение синуса, большее единицы, или минус под квадратным корнем, или ещё какую бяку.
То есть, если мы эту формулу станем применять для исследования без учёта ограничений, то можем вылезти за пределы реальности. Вот.

[mihailm]

С максимальным $\varphi$ все вроде ясно (хотя выписанную мной формулу еще никто не подтвердил). Но, как понятно, еще есть минимальное $\varphi$ (и что интересно минимальная $S$), вот его как найти?

В примере gris, четырехугольник со сторонами 1,1,1,2. Максимальный угол между диагоналями (60 градусов) получаем по формуле.
Исправлено. А вот минимальный угол (если четырехугольник выпуклый) в этом равен $\arccos \frac{\sqrt {6}}{4}$
В случае невыпуклого несамопересекающегося четырехугольника угол будет 30 градусов.
Хотя если брать самопересекающиеся четырехугольники (с ориентированной площадью), то вроде все хорошо - и угол ноль и площадь ноль.

[gris]

Ситуация аналогична формуле площади описанного многоугольника: $S=pr$. То есть при единичном радиусе площадь численно равна полупериметру. И можно безбоязненно подставить в формулу сколь угодно большое значение полупериметра, хоть триллион, чтобы отыскался треугольник такого полупериметра и численно равной площади. Но упаси Основатель искать по формуле $S=p$ площадь треугольника с полупериметром $p=4$. Слишком мало. Нельзя построить. Четырёхугольник такой есть, квадрат. А если $p=3$? Конечно нет, ведь рассмотренные для любых описанных около единичной окружности многоугольников площадь и полупериметр ограничены снизу $\pi$.
Но геометрический смысл решения уравнения даже при полупериметре равном единичке существует. Надо только рассматривать незамкнутые ломаные из кусков касательных. Ну ясно, как их замкнуть в центре окружности. Можно просто взять отрезок на касательной длиной в два.
Вот и в случае с диагоналями четырёхугольника мне привиделся геометрический смысл подстановки запрещённых значений.

[DeBill]

mihailm
Ну да, вроде, все получится.
Единственное ограничение на существование чет-ка: наибольшая сторона меньше суммы трех других (и тогда под корнем все положительно). Шарнирно деформируя, можем добиться вписанности - и, значит, мах достигается...