способ задания аналитической функции

[FeelUs]

А правда ли, что если у аналитической комплексной функции задана в каждой точке (везде дифференцируемая) действительная часть, а также задана мнимая часть в одной точке, то можно вычислить мнимую часть в любой точке?
(например по соотношениям Коши-Римана: действительная часть -> производные действительной части -> производные мнимой части + значение мнимой части в одной точке -> значение мнимой части в любой точке)
- всё это в произвольной связной области.

Не надо ли, чтобы функция была аналитической, накладывать дополнительные условия на ее действительную часть, или она может быть любой дифференцируемой функцией двух переменных (действительной и мнимой частей аргумента)?

[mihaild]

Задается ли аналитическая функция своей действительной частью и мнимой в одной точке - зависит от того, на какой области она рассматривается.
Является ли функция $|z|^2$ дифференцируемой? Является ли она действительной частью какой-нибудь аналитической функции?

[Markiyan Hirnyk]

Если Вы заглянете в Математическую энциклопедию или в учебники по комплексному анализу, то узнаете, что действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. В частности, $|z|^2=x^2+y^2$ не гармоническая, т. к. ее лапласиан $\Delta u =4$ и не равен постоянной функции, принимающей нулевое значение. Относительно восстановления аналитической функции по ее действительной части см., например, здесь.

[Otta]

FeelUs
Проблема в том, что Вы привели, фактически, два вопроса. И они разные.
Вопрос

FeelUs в сообщении #1186159 писал(а):

если у аналитической комплексной функции задана в каждой точке (везде дифференцируемая) действительная часть, а также задана мнимая часть в одной точке, то можно вычислить мнимую часть в любой точке?

в качестве разумной (на мой взгляд) имеет следующую интерпретацию:
Пусть $u=u(x,y)$ - вещественная часть некоторой аналитической в области $D$ функции. И известно значение мнимой части $v$ той же функции в некоторой точке области. Тогда можно найти и $v=v(x,y)$ во всех точках области. Да, по той схеме, что Вы изобразили, например.

Все остальные интерпретации первого вопроса, опять же на мой взгляд, неестественны, поскольку если уж задана сама аналитическая функция, то тем самым, заданы и ее вещественная и мнимая части на всей области одновременно.

Вопрос два.

FeelUs в сообщении #1186159 писал(а):

Не надо ли, чтобы функция была аналитической, накладывать дополнительные условия на ее действительную часть, или она может быть любой дифференцируемой функцией двух переменных (действительной и мнимой частей аргумента)?

(частично копипаста, умышленно, для сравнения)
в качестве разумной (на мой взгляд) имеет следующую интерпретацию:
Пусть $u=u(x,y)$ - вещественная часть некоторой аналитической в области функции. И известно значение мнимой части $v$ той же функции в некоторой точке области. Верно ли, что всегда найдется функция $v=v(x,y)$, гладкая во всей области, такая, что $u+iv$ является аналитической?
На второй вопрос ответ отрицателен, пояснения см. выше.

[FeelUs]

Спасибо Markiyan Hirnyk, я так и думал, что оно так находится, просто в качестве примера выбрал негармоническую функцию, и оно у меня не пошло.

Да, Otta, Вы все правильно проинтерпретировали.