Смысл импликации

[Mikhail_K]

На форуме то и дело возникают темы, в которых один или несколько участников не понимают смысла импликации и её связи со связкой "если... то" в повседневной речи.

Предлагаю своё объяснение импликации для таких участников.

----------

Обычно в математических рассуждениях встречаются импликации вида $A(x)\to B(x)$, где $A$ и $B$ - высказывания, зависящие от некоторой переменной $x$ (или нескольких переменных).
Например, высказывание "Если натуральное число $x$ делится на $4$, то оно делится и на $2$" можно записать в виде $\forall x\in\mathbb{N},\,A(x)\to B(x)$, где
$A(x)=$"Число $x$ делится на $4$", $B(x)=$"Число $x$ делится на $2$".

Приведённая импликация является истинным утверждением для всех $x$. Это значит, в соответствии с таблицей истинности импликации, что если $A(x)$ истинно, то $B(x)$ может быть только истинным, а если $A(x)$ ложно, $B(x)$ может быть каким угодно. Смотрим:

- при $x=1$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=2$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=3$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=4$, $A(x)$ истинно, $B(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=5$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=6$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=7$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=8$, $A(x)$ истинно, $B(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
- при $x=9$, $A(x)$ ложно, $B(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $A(x)\to B(x)$ истинна;
...

Мы видим, что при всех $x\in\mathbb{N}$ импликация истинна. Она была бы ложной для некоторого $x$, если бы для этого $x$ утверждение $A(x)$ было истинным, а утверждение $B(x)$ в то же самое время - ложным. Но таких строк здесь у нас нет. Импликация истинна при всех $x$.

----------

В тех случаях, когда значений $x$ в импликации $A(x)\to B(x)$ может быть бесконечно много (как в приведённом примере), особенно видна связь импликации со связкой "если... то" в повседневной речи и даже с причинно-следственной связью.
В самом деле, просматривая таблицу выше, рано или поздно мы уверимся: это неспроста, что каждому истинному $A(x)$ соответствует обязательно истинное $B(x)$. Если бы эти $A(x)$ и $B(x)$ были никак не связаны между собой, наверняка для какого-то $x$ случайно получилось бы так, что $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Но этого нет. Это даёт нам уверенность, что каким-то образом истинность $A(x)$ обеспечивает истинность $B(x)$; другими словами, из $A(x)$ следует $B(x)$.

Это и есть импликация. Сказать "$A(x)\to B(x)$ верно для всех $x$" - это то же самое, что сказать "Если $A(x)$ верно, то и $B(x)$ верно", или сказать "Из $A(x)$ вытекает $B(x)$".

----------

Вот, скажем, импликация "Если натуральное число $x$ делится на $3$, то оно не делится на $2$" уже не является верной при всех $x$.
Пусть $C(x)=$"Число $x$ делится на $3$", $D(x)=$"Число $x$ не делится на $2$".
Тогда:
- при $x=1$, $C(x)$ ложно, $D(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ истинна;
- при $x=2$, $C(x)$ ложно, $D(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ истинна;
- при $x=3$, $C(x)$ истинно, $D(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ истинна;
- при $x=4$, $C(x)$ ложно, $D(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ истинна;
- при $x=5$, $C(x)$ ложно, $D(x)$ истинно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ истинна;
- при $x=6$, $C(x)$ истинно, $D(x)$ ложно $\Rightarrow$ импликация $C(x)\to D(x)$ ложна.
Мы видим, что при $x=6$ истинность импликации нарушается.
То есть, из $C(x)$ вовсе не вытекает $D(x)$; нельзя сказать, что "Если $C(x)$ верно, то и $D(x)$ верно".

----------

Когда мы говорим "если... то" в повседневной речи, чаще всего при желании это тоже можно записать в виде импликации.
Например: "Если упадёшь с десятого этажа, то умрёшь".
Это утверждение можно записать в виде $\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$,
где $M$ - множество людей (как живых так и мёртвых),
$A(x)=$"Человек $x$ упал с десятого этажа", $B(x)=$"Человек $x$ умер".
Можно составить список всех людей, когда-либо живших на Земле - наподобие таблиц в примерах выше.
Большинство из этих людей никогда не падали с десятого этажа - для них $A(x)$ будет ложно. При этом для некоторых из них $B(x)$ будет истинно (они умерли, хотя и не по причине падения с десятого этажа - например, от старости, или попав под машину, или будучи затоптаны мамонтом, или упав не с десятого, а с двенадцатого этажа), а для некоторых $B(x)$ будет ложно (они ещё живы). Во всех этих случаях импликация $A(x)\to B(x)$ будет истинной (потому что $A(x)$ ложно, а из лжи может следовать что угодно).

Но также в нашем списке будут присутствовать люди, когда-либо падавшие с десятого этажа, и для них $A(x)$ будет истинно.
Для всех этих людей мы проверим истинность $B(x)$. Если $B(x)$ для всех этих людей истинно (все они умерли), то для них для всех будет верна импликация $A(x)\to B(x)$. Тем самым, будет верно и наше изначальное утверждение $\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$. И так как множество $M$ очень большое, такое совпадение (что для всех $x\in M$ импликация оказалась истинной) наведёт нас на мысль, что совпадение это не случайное, и между падением с десятого этажа и смертью, видимо, имеется причинно-следственная связь.

Но, быть может, мы найдём в нашем списке такого человека $x$, для которого $A(x)$ верно (он упал с десятого этажа), но $B(x)$ ложно (он жив). Что ж, тогда для такого $x$ импликация $A(x)\to B(x)$ будет ложной, и наше утверждение
$\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$ тоже окажется ложным. Этот счастливчик $x$ будет контрпримером к нашему утверждению.

----------

Я подчеркну ещё раз, что когда у нас есть импликация $\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$, верная для всех $x$ из достаточно широкого множества $M$, мы можем подозревать причинно-следственную связь между $A(x)$ и $B(x)$. Импликация ни в коем случае не доказывает эту причинно-следственную связь, но делает очень правдоподобным предположение о её присутствии - ну не могло же случайно так получиться, что для всех-всех-всех $x$ из огромного множества $M$ утверждение $A(x)\to B(x)$ оказалось верным. И ни разу не получилось так, что $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно.

Если же у нас есть "одиночная" импликация $A\to B$, то делать на её основе какие-то предположения о логическом следовании или причинно-следственной связи будет опрометчиво.
Отсюда и недоумения по поводу верных импликаций типа "Если $2\cdot 2=5$, то я Папа Римский" или "Если $2\cdot 2=4$, то Москва - столица России".

-- 19.01.2017, 12:46 --

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1185880 писал(а):

"Если упадёшь с десятого этажа, то умрёшь"

Сразу уточню кое-что, чтобы никто не придрался.
Если эти слова обращены к конкретному человеку ("если ты упадёшь с десятого этажа, то умрёшь"), то они не эквивалентны утверждению $\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$, которое относится ко всем людям, жившим до сих пор.
Но если они произносятся в смысле "каждый, кто падает с десятого этажа, умирает" - то вполне даже эквивалентны.

Прошу тех, кто будет здесь писать, не прицепляться к подобным незначительным моментам.

[Mikhail_K]

Дополнение об "одиночных" импликациях $A\to B$.

"Одиночные" импликации типа $A\to B$, где $A$ и $B$ - высказывания, не зависящие ни от каких переменных, также соответствуют предложениям со связкой "если... то" в повседневной речи.

Например, утверждение "Если N.N. упадёт с десятого этажа, то умрёт" означает: не может быть так, что N.N. упадёт с десятого этажа, но при этом останется в живых. Все остальные варианты развития событий данное утверждение допускает:
1) и что N.N. упадёт с десятого этажа и умрёт;
2) и что N.N. не упадёт с десятого этажа и не умрёт;
3) и что N.N. не упадёт с десятого этажа, но всё равно умрёт.
В первом случае говорящий может потом сказать: а я предупреждал, что падение с десятого этажа ведёт к смерти.
Во втором и в третьем случаях говорящий может сказать: я не врал; я ничего не предсказывал на тот случай, если N.N. не упадёт с десятого этажа.

----------

Так как в одиночной импликации говорится ровно про один случай, она может оказаться истинной случайно, без причинно-следственной связи между утверждениями.

Например, кто-то говорит: "Если сегодня дорогу N.N. перебежит чёрная кошка, то с ним случится несчастье".
Это значит, что он точно предсказывает: не может быть так, чтобы дорогу N.N. перебежала чёрная кошка, а несчастья бы при этом не случилось. Говорящий уверен, что так не бывает.
При этом он не уверен ни в том, что дорогу N.N. сегодня перебежит чёрная кошка, ни в том, что будет, если не перебежит. В этих случаях поймать его на лжи невозможно - он ничего не предсказывал на эти случаи.
Стало быть, это утверждение - импликация $A\to B$, где
$A=$"сегодня дорогу N.N. перебежит чёрная кошка", $B=$"с N.N. случится несчастье".

Эта импликация может оказаться верной совершенно случайно - например, если дорогу N.N. чёрная кошка не перебежит, или если перебежит, и при этом несчастье случится - случайно так совпадёт.
Предсказание провалится в единственном случае - если дорогу N.N. перебежит чёрная кошка, и при этом никакого несчастья с ним не произойдёт.

----------

Пусть теперь кто-то говорит: "Если в июле выпадет снег, то я стану Президентом России".
Это предсказание провалится в единственном случае - если снег выпадет, а говорящий при этом не станет Президентом.
Если же в июле не выпадет снег, то говорящий скажет: на этот случай я ничего не утверждал, ничего не предсказывал; так что я не врал.
Здесь тоже импликация.
Так же обстоит дело и с утверждениями типа "Если $2\cdot 2=5$, то я - Папа Римский".

[kernel1983]

Mikhail_K в сообщении #1185880 писал(а):

высказывания, зависящие от некоторой переменной

Тогда это предикаты, а не высказывания.

Mikhail_K в сообщении #1185880 писал(а):

высказывание "Если натуральное число $x$ делится на $4$, то оно делится и на $2$"

Опять же это не высказывание, а предикат.

Mikhail_K в сообщении #1185880 писал(а):

$\forall x\in\mathbb{N},\,A(x)\to B(x)$,

А вот это уже высказывание.

Определение импликации можно аргументировать гораздо проще, не прибегая к помощи предикатов и кванторов. Легко показать, что данную связку в классической логике высказываний определить нельзя. Две последние строки, надеюсь, никто оспаривать не будет: $1 \to 1=1$ (имея истинную посылку, приходим к истинному заключению, само рассуждение правильно), $1 \to 0 =0$ (имея истинную посылку, приходим к ложному заключению, само рассуждение неправильно). Первые две строки определить иначе нельзя, иначе получится функция, тождественно равная второй переменной $y$, эквиваленция или конъюнкция.

[Sinoid]

kernel1983 в сообщении #1186354 писал(а):

имея истинную посылку, приходим к истинному заключению, само рассуждение правильно

Школьник, сам того не заметив, доказал верную теорему рассуждением с ошибкой. От этого импликация стала верной?

[kernel1983]

kernel1983 в сообщении #1186354 писал(а):

рассуждение правильно

Sinoid в сообщении #1186385 писал(а):

рассуждением с ошибкой

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1186385 писал(а):

Школьник, сам того не заметив, доказал верную теорему рассуждением с ошибкой. От этого импликация стала верной?

Ну, Вы читали то, что я написал выше?
Импликация сама по себе не подразумевает наличие логического следования или причинно-следственной связи, а только даёт основание предполагать их наличие. Так как импликация вообще не зависит от наличия логического вывода, тем более она не зависит от того, правильно этот вывод произведён или неправильно.

Другими словами.
Импликация просто утверждает: если $A$, то $B$. Импликация не объясняет и не обосновывает, почему это так.
Если утверждение теоремы можно записать в виде импликации $A\to B$ (или в виде $\forall x\in M$, $A(x)\to B(x)$), то эта импликация будет верной или неверной вне зависимости от того, доказывают ли её правильно, или с ошибкой, или вообще не доказывают.

[kernel1983]

Mikhail_K в сообщении #1186391 писал(а):

Так как импликация вообще не зависит от наличия логического вывода, тем более она не зависит от того, правильно этот вывод произведён или неправильно.

А как насчёт такой теоремы? Формула $F \to G$ тождественно истинна тогда и только тогда, когда из формулы $F$ следует формула $G$.

[Mikhail_K]

kernel1983 в сообщении #1186412 писал(а):

А как насчёт такой теоремы? Формула $F \to G$ тождественно истинна тогда и только тогда, когда из формулы $F$ следует формула $G$.

Ну, есть такая теорема в логике высказываний (Sinoid явно имел в виду произвольный раздел математики.)

Мне не понятно, к чему этот Ваш комментарий. Во-первых, Вам стоило конкретизировать, откуда эта теорема, и указать, что в ней означает слово "следует" - то же ли самое, что имел в виду Sinoid.
Во-вторых, в математике (в некоторых формальных системах) имеются утверждения (в частности, импликации), истинные, но недоказуемые. Язык логики ведь используется в математике повсюду.
В-третьих, моё сообщение было адресовано Sinoid, который не видит разницы между импликацией и её доказательством (логическим выводом), и опасается, что из-за неверного доказательства (или отсутствия доказательства) может пострадать истинность. Если Вы считаете, что сумеете лучше объяснить ему суть дела, то я только рад.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1186429 писал(а):

Во-вторых, в математике (в некоторых формальных системах) имеются утверждения (в частности, импликации), истинные, но недоказуемые. Язык логики ведь используется в математике повсюду.

Если «следует» — это «логически следует» ($\vDash$), то доказательства ни при чём, $\psi\vDash\varphi$ эквивалентно $\vDash\psi\to\varphi$ из определений тождественной истинности, логического следствия и интерпретации формулы с главной связкой—импликацией.

А до вывода Sinoid, кажется, ещё не совсем дошёл.