Устойчивость многочленов

[runda]

Добрый день, помогите найти следующее доказательство в какой нибудь литературе, уже сам обыскался..

Доказать, что для устойчивого многочлена $ L(P)=p^n+a_1p^{n-1}+..+ a_{n-1}p+a_n$ любое решение $ z=\phi(t) $ дифференциального уравнения $ L(p)z=0 $ удовлетворяет неравенству $ |\phi(t)|\leqslant M e^{-\alpha t} \quad t\geqslant 0$

[Lia]

Вряд ли Вы его найдете в какой-либо литературе, уж больно очевидно. Попробуйте сами доказать. Посмотрите, что такое устойчивый многочлен, на эквивалентные определения устойчивости многочлена. После этого, если формулировку уточнить (поскольку на данный момент у Вас и дифференциальные уравнения отсутствуют), утверждение станет вполне прозрачным для доказательства.

А пока наберите Вашу картинку здесь, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[runda]

Lia в сообщении #1185837 писал(а):

Вряд ли Вы его найдете в какой-либо литературе, уж больно очевидно. Попробуйте сами доказать. Посмотрите, что такое устойчивый многочлен, на эквивалентные определения устойчивости многочлена. После этого, если формулировку уточнить (поскольку на данный момент у Вас и дифференциальные уравнения отсутствуют), утверждение станет вполне прозрачным для доказательства.

А пока наберите Вашу картинку здесь, пожалуйста.

Я правильно понимаю ,что так как многочлен у нас устойчивый, то все его корни имеют отрицательные действительные части, отсюда следует , что наше неравенство выполняется ?

[Lia]

runda в сообщении #1185852 писал(а):

что так как многочлен у нас устойчивый, то все его корни имеют отрицательные действительные части

Да, правильно.
А вот продолжение Вашей мысли требует чуть большей аккуратности.

[runda]

Lia в сообщении #1185855 писал(а):

runda в сообщении #1185852 писал(а):

что так как многочлен у нас устойчивый, то все его корни имеют отрицательные действительные части

Да, правильно.
А вот продолжение Вашей мысли требует чуть большей аккуратности.

Имеем решение вида $z=t^re^{\lambda t}$
отсюда
$|z/e^{-\alpha t}| = t^re^{(\mu_j+\alpha)t}$

Правая часть стремится к нулю при $t\to\infty$ следовательно ограничена, отсюда получаем $|z|\leqslant Me^{-\alpha t} при t\geqslant0$
Верно?