Смысл определений размерности в общей топологии

[Anton_Peplov]

Начал читать Энгелькинга (с. 561) про разные определения размерности и запнулся.
Сначала он вводит размерность $\operatorname {ind}$ (все остальные размерности введет потом), и вводит ее индуктивно:
1. $\operatorname {ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$. Ладно, с этим можно смириться. Видимо, мы хотим, чтобы размерность одноточечного множества была нулевой, а пустого еще меньше.
2. $\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.
На этом пункте мозг сломался. Ладно, требование "множество имеет границу меньшей размерности" как-то приятно глазу. Но почему именно такое множество? Почему не любое открытое (жесткий вариант)? Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)? Почему именно так - не требуя этого от каждой окрестности, но находя такую окрестность внутри каждой? Чего мы, собственно, добиться хотим? Где переход от интуитивно ясного понятия размерности $\mathbb R^n$?

Энгелькинг, как обычно, до объяснений не опускается. Куратовский про размерность $\operatorname {ind}$ ничего говорит, только про $\operatorname {dim}$. Келли и Виро о размерности вообще не заикаются. Пробовал гуглить на обоих языках. Ничего не нагуглил. Что бы мне прочитать, чтобы понять, откуда тут что берется? Желательно на русском все-таки.

[grizzly]

Anton_Peplov
В ру-Вики про Теорию Размерности в списке литературы есть В.Гуревич, Г.Волмэн. Там изложение основано как раз на индуктивном определении. Посмотрите, если ещё не. Там, похоже, как раз с упором на понимание, с большим количеством примеров.
В de-вики про Индуктивную Размерность лучше чем в других поясняется мотивация и различия между определениями. Я немецким совсем не владею, но гугл-переводчик даёт сколько-то понятную абракадабру.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):

Почему не любое открытое (жесткий вариант)?

Потому что у некоторых открытых множеств граница может оказаться размерности $n$.

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):

Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)?

Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):

Где переход от интуитивно ясного понятия размерности $\mathbb R^n$?

Ну, это должно быть некоторой теоремой.

Вообще, попробуйте мыслить не окрестностями, а перегородками: $\operatorname{ind}X\leqslant n$, если для каждой точки $x\in X$ и каждого не содержащего её замкнутого множества $F\subset X$ между ними найдётся перегородка $\Phi\subset X$ размерности $\operatorname{ind}\Phi\leqslant n-1$.

Замкнутое множество $\Phi\subseteq X$ называется перегородкой между множествами $A\subseteq X$ и $B\subseteq X$, если существуют такие открытые множества $U\subseteq X$ и $V\subseteq X$, что выполняются следующие условия:
1) $U\cap V=\varnothing$,
2) $U\cup V=X\setminus\Phi$,
3) $A\subseteq U$ и $B\subseteq V$.

Легко доказать, что эта формулировка равносильна второму пункту у Энгелькинга.

Аналогично можно переформулировать и определени большой индуктивной размерности.

П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

[Anton_Peplov]

Спасибо. Теперь многое стало ясным.

Терминология, использованная Гуревичем и Волмэном, подсказала важное обстоятельство. Требование "внутри каждой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U$ такая, что..." является обобщением на язык общей топологии метрического выражения "существует сколь угодно малая окрестность точки $p$ такая, что...". Оно проясняет и некоторые другие определения у того же Энгелькинга (например, локальной связности).

[Anton_Peplov]

Гуревич и Волмэн, судя по определению, ведут речь о размерности $\operatorname {ind}$, но обозначают ее $\operatorname {dim}$. Это нормально?

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1185632 писал(а):

Это нормально?

Нет, потому что $\dim$ — другая размерность. Впрочем, для метризуемых пространств со счётной базой $\operatorname{ind}=\operatorname{Ind}=\dim$.

-- Ср янв 18, 2017 15:15:30 --

Для метризуемых пространств несчётного веса доказано, что $\operatorname{ind}\leqslant\dim=\operatorname{Ind}$, и известен пример, когда $\operatorname{ind}<\dim$.

[Anton_Peplov]

Не прошло и четырёх лет, как я снова начал изучать математику и вернулся к вопросу о размерностях. Пожалуйста, не спрашивайте, почему так долго. Не моя вина.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):

П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

В этой книге в определении размерности $\operatorname {ind}$ другое условие.

У Энгелькинга

$\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

У Александрова, Пасынкова (с. 163) окрестность $U$ должна входить в $V$ вместе со своим замыканием, которое будем обозначать квадратными скобками как $[U]$:

$\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U$, $[U] \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

И вот эквивалентность определения Александрова, Пасынкова определению через перегородки действительно легко доказать. Достаточно взять $V = X \setminus F$ и заметить, что $X \setminus \operatorname {Fr} U = U \cup X \setminus [U]$. И что $F \subset X \setminus [U]$, раз уж $[U] \subset X \setminus F$ .

А вот эквивалентность определения Энгелькинга определению через перегородки мне доказать не удалось. Я не понимаю, какие $V, U$ я должен взять. Если $U$ - произвольное подмножество $X \setminus F$, то возможен случай, когда $[U]$ шире, чем $X \setminus F$. А существование меньших, чем $X \setminus F$, окрестностей точки $x$ в произвольном пространстве не гарантировано.

Вопрос: это я не смог доказать эквивалентность или это действительно разные определения размерности? Или в Энгелькинге опечатка, и он просто забыл пропечатать оператор замыкания?

Ниже для удобства цитирую определение размерности через перегородки.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):

Вообще, попробуйте мыслить не окрестностями, а перегородками: $\operatorname{ind}X\leqslant n$, если для каждой точки $x\in X$ и каждого не содержащего её замкнутого множества $F\subset X$ между ними найдётся перегородка $\Phi\subset X$ размерности $\operatorname{ind}\Phi\leqslant n-1$.

Замкнутое множество $\Phi\subseteq X$ называется перегородкой между множествами $A\subseteq X$ и $B\subseteq X$, если существуют такие открытые множества $U\subseteq X$ и $V\subseteq X$, что выполняются следующие условия:
1) $U\cap V=\varnothing$,
2) $U\cup V=X\setminus\Phi$,
3) $A\subseteq U$ и $B\subseteq V$.

Легко доказать, что эта формулировка равносильна второму пункту у Энгелькинга.

Легко ли?

[SomePupil]

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):

2. $\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

Энгелькинг изначально предполагает регулярность пространств, что позволяет в приведенном условии принять $\operatorname{Fr} U \subset V.$

Предположение регулярности необременительно в теоретическом плане; я конкретику забыл, но из конечномерности (в смысле конечного $\operatorname{ind}$) нехитро выводилась регулярность.

[Anton_Peplov]

SomePupil в сообщении #1459816 писал(а):

Энгелькинг изначально предполагает регулярность пространств

Точно! Эх. Полдня сегодня зря потерял, невнимательно переписав определение.
Спасибо.

[Geen]

Someone в сообщении #1185477 писал(а):

Потому что у некоторых открытых множеств граница может оказаться размерности $n$.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):

Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

А можно примеры привести? Спасибо.

[Someone]

Geen в сообщении #1459865 писал(а):

А можно примеры привести?

1) Пространство — график функции $y=\sin\frac 1x$ вместе с предельным отрезком. Открытое множество — часть графика, определяемая неравенством $x>0$. Его граница — предельный отрезок $\{(x,y):x=0,-1\leqslant y\leqslant 1\}$.
Это пространство одномерно в смысле любой из размерностей $\operatorname{ind}$, $\dim$, $\operatorname{Ind}$, размерность границы тоже равна $1$.
2) Пространство — объединение двух двумерных симплексов (треугольников), пересекающихся по одной вершине. Дополнение до этой вершины распадается на два связных открытых множества, для которых общая вершина является общей границей.
Размерность пространства в любом из трёх смыслов равна $2$, размерность границы равна $0$.

[Geen]

Someone
Спасибо!

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1460090 писал(а):

2) Пространство $X$ — объединение двух двумерных симплексов (треугольников), пересекающихся по одной вершине $a$. Дополнение до этой вершины $X\setminus \{a\}$ распадается на два связных открытых множества $O_1, O_2$, для которых общая вершина является общей границей.
Размерность пространства в любом из трёх смыслов равна $2$, размерность границы равна $0$.

(Обозначения мои - Anton_Peplov)

Не понял, что иллюстрирует этот пример. Что у каждой точки двумерного пространства $X$ есть окрестность ($O_1$ или $O_2$) с нульмерной границей $\{a\}$? Но ведь не у каждой. У самой точки $a$ такой окрестности нет.

Если же рассмотреть $X\setminus \{a\}$ как двумерное пространство с индуцированной из $X$ топологией, то точка $a$ вообще в него не входит и потому не может являться граничной ни для каких окрестностей в топологии $X\setminus \{a\}$.

(Зато точно можно сказать, что в любом пространстве $X$ у каждой точки есть окрестность с пустой, и, следовательно, $-1$-мерной границей - это само $X$).

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1460309 писал(а):

Не понял, что иллюстрирует этот пример. Что у каждой точки двумерного пространства $X$ есть окрестность ($O_1$ или $O_2$) с нульмерной границей $\{a\}$? Но ведь не у каждой. У самой точки $a$ такой окрестности нет.

Ну, прицепите таким же образом ещё третий треугольник. Или возьмите несвязное пространство, тогда у каждой точки будет открыто-замкнутая окрестность, у которой граница пустая и имеет размерность $-1$.

А вообще, это иллюстрация к следующему диалогу.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):

Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)?

Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1460318 писал(а):

Или возьмите несвязное пространство

Можно и связное. Само пространство для каждой своей точки является окрестностью, имеющей пустую границу (размерности $-1$).