Коэффициент полезного действия. Вывод формулы через логику

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, лекция 44, § 4 Коэффициент полезного действия идеальной машины
http://www.politazbuka.info/biblioteka/ ... iyami.html , стр.113-115


Фейнман пытается вывести формулу $\frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2}$ через логические аргументы. В этом выводе он так и не получил искомую формулу. Первое, что неясно, -- при выводе формулы $W_{12} = W_{13} - W_{32}$ он использует то, что якобы $Q_1 - Q_2 = W_{12}$. Но откуда он знает, что двигатель будет поглощать и отдавать именно $Q_1$ и $Q_2$? Почему не $Q_1$ и $Q_\text{x}$? Т.е. где гарантия, что двигетль 1 + двигатель 2 и двигетль 3 отдают именно то же $Q_2$?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1185357 писал(а):

Т.е. где гарантия, что двигетль 1 + двигатель 2 и двигетль 3 отдают именно то же $Q_2$?

Просто, по построению, обратимая машина 3 устроена как последовательно включённые обратимые машины 1 и 2. Внешние потоки тепла и работа не зависят от того, рассматриваем мы машину 3 как единое целое или делим её на два этапа.

Кроме того, то, что у всех обратимых тепловых машин, работающих между двумя температурами, должен быть одинаковый КПД, Фейнман показывал ранее по тексту, насколько я помню. Соответственно, если одна обратимая тепловая машина (1+2) отдаёт тепло $Q_2$ при температуре $T_2$, то и любая обратимая тепловая машина должна отдавать тепло $Q_2$.

[Uchitel'_istorii]

realeugene в сообщении #1185358 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1185357 писал(а):

Т.е. где гарантия, что двигетль 1 + двигатель 2 и двигетль 3 отдают именно то же $Q_2$?

Просто, по построению, обратимая машина 3 устроена как последовательно включённые обратимые машины 1 и 2. Внешние потоки тепла и работа не зависят от того, рассматриваем мы машину 3 как единое целое или делим её на два этапа.

Если машины 1+2 и машина 3 эквивалентны, то можно было сразу написать $W_{12} = W_{13} - W_{32}$. Раз Фейнман так не делает, то их эквивалентность нужно доказать. Т.е. напр. для машины 3 имеем $Q_{\text{absorbed}} - Q_{\text{delivered}} = W$. Это уравнение можно умножить на любое число: $nQ_{\text{absorbed}} - nQ_{\text{delivered}} = nW$. Т.е. можно отрегулировать машину 3 так, чтобы $nQ_{\text{absorbed}} = Q_1$ и обозначить $nW$ как $W_{12}$. По поводу $nQ_{\text{delivered}}$ ничего сказать нельзя, ниоткуда не следует, что $nQ_{\text{delivered}} = Q_2$.


Второе. Фейнман говорит, что из уравнения $W_{12} = W_{13} - W_{32}$ можно вывести закон для КПД. Вот, что получилось:
$\tfrac{W_{12}}{Q_1}=\tfrac{W_{13} - W_{32}}{Q_1}$
$\eta_3 = \eta_1 - \tfrac{W_{32}}{Q_1}$
$\eta_3 = \eta_1 - \eta_2\tfrac{Q_2}{Q_1}$
$\eta_3 = \eta_1 - \eta_2(1-\eta_3)$
$\eta_3 =\tfrac{\eta_1 - \eta_2}{1-\eta_2} $
Дальше он говорит:"Таким образом, для полного описания работы машин нам остается узнать совсем немного. Мы должны выяснить, сколько тепла $Q_1$ должна поглотить машина при температуре $T_1$, чтобы выделить при единичной температуре тепло $Q_S$."
Т.е. $Q_S$ известно, $Q_1$ - неизвестно, $Q_2$ - неизвестно , правильно?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1185519 писал(а):

откуда не следует, что $nQ_{\text{delivered}} = Q_2$

Это следует из того, что все рассматриваемые машины обратимы. Это Фейнман выводил логически в предыдущих разделах, насколько я помню. В этом разделе Фейнман выводит уже не одинаковость КПД, а понятие абсолютной температуры и КПД. То, что все обратимые машины совершают одинаковую работу и, следовательно, выкидывают одинаковое количество тепла, он рассказывает на стр. 111. Машина, состоящая из двух обратимых машин 1+2, тоже обратима.

[Uchitel'_istorii]

Связанный вопрос. § 6 Энтропия стр. 118-123
Не понятна фиг . 44.10 и абзац:

Цитата:

Вопрос заключается в том, зависит ли разность энтропии от пути в плоскости pV?Из аъ введет много дорог. Вспомним, что в цикле Карно мы могли перейти из точки a в точку c (см. фиг. 44.6) двумя способами. Можно было расширить газ сначала изотермически, а потом адиабатически, а можно было начать с адиабатического расширения и окончить изотермическим. Итак, мы должны выяснить, меняется ли энтропия при изменении пути из a в b (фиг. 44.10). Она не должна измениться, потому что если мы совершим полный цикл, выйдя из a в b по одному пути и возвратясь по другому, то это путешествие будет эквивалентно полному циклу обратимой машины. При таком цикле никакого тепла не передается одноградусному резервуару. Поскольку мы не имеем права взять тепло из одноградусного резервуара, то при каждом путешествии из a в b приходится обходиться одним и тем же количеством энтропии. Это количество не зависит от пути, существенны только конечные точки....

На фигуре изображено:
а) 7 машин:
- основная машина, рабочее вещество которой описано кривой a-b на диаграмме TV;
- 6 малых машин (№№ 1, 2, 3, 4, 5, 6), изображены явно.
б) 7 резервуаров:
-малые резервуары с температурами $T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6$, которые меньше температуры вещества основной машины. После контакта с веществом, их температуры станут равны температуре вещества в момент контакта $T(1),T(2),T(3),T(4),T(5),T(6)$;
-резервуар с температурой 1 К;
-кроме того, должно быть еще 2 скрытых резервуара для основной машины.

Постоянно при работе главной машины будет отбираться тепло, передаваться малым резервуарам, а также будут запускаться малые машины. Так почему Фейнман решил, что ничего не передается резервуару 1К ? При прохождении пути a-b резервуар 1К получит $6S\cdot 1K$ и при прохождении b-a -- тоже $6S\cdot 1K$, итого $12S\cdot 1K$. Т.к. температура вещества меньше 1К, то малые машины будут работать в прямом направлении всегда.

[se-sss]

Я очень рекомендую сверяться с современной поддерживаемой официальной версией на английском языке http://www.feynmanlectures.caltech.edu/.
Русский перевод местами не очень хорош, а в официальной версии появилась куча исправлений по сравнению с 60-ми годами.
Зачастую то, что непонятно в русской версии, становится понятным в непереведённой версии.

[Uchitel'_istorii]

se-sss , в английской версии то же самое.

А что будет, если малые резервуары не использовать? Тогда изменение энтропии $S_b-S_a$ будет равно нулю? Или эти резервуары - это и есть аналог холодного резервуара в нормальной машине?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1186295 писал(а):

Так почему Фейнман решил, что ничего не передается резервуару 1К ?

Потому что умный был мужик с ясным мышлением.

Uchitel'_istorii в сообщении #1186295 писал(а):

7 машин

Это только иллюстрация. На самом деле, машин там бесконечно много, с непрерывным распределением температур их маленьких резервуаров.

Uchitel'_istorii в сообщении #1186295 писал(а):

При прохождении пути a-b резервуар 1К получит $6S\cdot 1K$

На этом участке основной резервуар нагревается, он получает тепло от малых обратимых машин, следовательно, малые машины работают на этом участке в направлении отбирания тепла от 1К резервуара и отдачи тепла основному резервуару.

[Uchitel'_istorii]

Спасибо, конечно, но мало что проясняет Ваш ответ.
Стр.119:
"потому что если мы совершим полный цикл, выйдя из a в b по одному пути и возвратясь по другому, то это путешествие будет эквивалентно полному циклу обратимой машины." -- Когда Фенйман говорит об обратимой машине, что он подразумевает под этой машиной: сколько в ней резервуаров? входят ли в нее малые резервуары (№№ 1, 2, 3, 4, 5, 6)? являются ли эти малые резервуары аналогом холодного резервуара в классической тепловой машине с двумя резервуарами? являются ли малые машины составной частью машины? вообще, эти малые резервуары и малые машины реально есть или это для упрощения расчетов (чтобы четко было видно $S$)?

Цитата:

На этом участке основной резервуар нагревается, он получает тепло от малых обратимых машин, следовательно, малые машины работают на этом участке в направлении отбирания тепла от 1К резервуара и отдачи тепла основному резервуару.

Основной резервуар -- это имеется в виду рабочий объем с рабочим телом (у Фейнмана в тексте "вещество")? Не могли бы Вы более точно формулировать, чтобы не было разночтений, т.к. это сильно меня запутывает.

На фигуре 44.10 малые резервуары находятся ниже графика, означает ли это, что температура малых резервуаров ниже температуры вещества (рабочего тела)? Почему малые резервуары №№ 1, 2, 3, 4, 5, 6 Фенйман называет "малыми", ведь резервуар должен поддерживать свою температуру при контакте с рабочим телом, а тут получается, что рабочее тело, будучи намного больше, сохраняет температуру, а малый резервуар -- не сохраняет? Конечно, фигура 44.10 должна быть универсальной, т.е. при обратном процессе величины станут отрицательными (при сохранении направления стрелок), но не лучше ли было, чтобы не запутывать читателя, сразу направить стрелки так, чтобы величины были положительными.

Вы говорите, что рабочее тело (вещество) нагревается. Может ли быть, что оно нагревается из-за совершения над ним работы по закону $Q+W=U$, или обязательно должно отбираться тепло у резервуара 1К?


На фигуре 44.11 изображен полный цикл. Правильно ли я понимаю, что площадь между кривыми -- это работа совершенная над рабочим телом (веществом) , т.к. на пути a-b объем увеличивается (рабочее тело совершает работу), а на пути b-a объем уменьшается (человек совершает работу над рабочим телом)? Значит, суммарно нужно затратить некоторую работу для завершения цикла. Судя по примерам Фейнмана в лекции 44, в таком случае машина должна отобрать тепло у холодного резервуара и в $\tfrac{1}{1-\eta}$ раз больше передать горячему. Правильно ли я понимаю, что на пути a-b машина совершает работу $\sum dW$ (где $dW$ - работа какой-либо малой машины) ?

[realeugene]

Малые резервуары нужны только для того, чтобы их температура при этом анализе была постоянной. Так как даже теплопередача между двумя резервуарами является обратимым процессом только если между этими резервуарами нулевая (бесконечно малая) разность температур, то чтобы передать тепло обратимо между малыми резервуарами с фиксированной температурой и веществом с изменяющейся в процессе температурой, нужно иметь бесконечно много резервуаров, каждый из которых передаёт бесконечно мало тепла в условиях равенства своей температуры температуре большого резервуара.

Uchitel'_istorii в сообщении #1186481 писал(а):

На фигуре 44.11 изображен полный цикл. Правильно ли я понимаю, что площадь между кривыми -- это работа совершенная над рабочим телом (веществом) , т.к. на пути a-b объем увеличивается (рабочее тело совершает работу), а на пути b-a объем уменьшается (человек совершает работу над рабочим телом)? Значит, суммарно нужно затратить некоторую работу для завершения цикла. Судя по примерам Фейнмана в лекции 44, в таком случае машина должна отобрать тепло у холодного резервуара и в $\tfrac{1}{1-\eta}$ раз больше передать горячему.

Да.

Uchitel'_istorii в сообщении #1186481 писал(а):

Вы говорите, что рабочее тело (вещество) нагревается. Может ли быть, что оно нагревается из-за совершения над ним работы по закону $Q+W=U$, или обязательно должно отбираться тепло у резервуара 1К?

Чтобы процесс был обратимым, забирать тепло у 1К резервуара обязательно. Кроме сохранения энергии в обратимых процессах должна сохраняться ещё и энтропия (в необратимых процессах энтропия увеличивается). Поток механической энергии приносит нулевую энтропию, так что, если просто переработать механическую энергию в тепло, количество энтропии в системе возрастёт. Чтобы энтропия не возрастала, нужно от 1К резервуара отобрать небольшое количество тепловой энергии с большим количеством энтропии, и передать горячему резервуару то же количество энтропии, но уже с большим количеством тепловой энергии.

[Uchitel'_istorii]

Получается, если малые машины -- составная часть машины с веществом, то по звершении цикла a-b-a тепло отбирается от резервуара 1К. Фенйман же утверждает (конец стр.119), что "При таком цикле никакого тепла не передается одноградусному резервуару... мы не имеем права взять тепло из одноградусного резервуара..."

На участке b-a также расположено множество малых резервуаров с бесконечно малой разностью температур между соседними, но несколько ниже, чем температура рабочего тела (вещества), с тем , чтобы тепло перетекало в малые резервуары. Т.о. отобранное тепло должно быть больше затраченной на сжатие работы, чтобы внутренняя энергия уменьшилась. Итак, мы вернули вещество в первоначальное состояние a. Весь цикл a-b-a: из резервуара 1К было изъято $\Delta S \cdot 1K $, человеком над малыми машинами выполнена работа $\Delta W$ и передано в малые резервуары тепло $\Delta Q$ , которое пошло на нагрев вещества $\Delta U_{\text{subst.}}$ и на совершение веществом работы $W_{\text{by subst.}}$:
$\Delta S \cdot 1K + \Delta W = \Delta Q = \Delta U_{\text{subst.}} + W_{\text{by subst.}}$ .
Далее над веществом производится работа $W_{\text{on subst.}}$, вещество охлаждается $-\Delta U_{\text{subst.}}$, и отдает в малые резервуары $W_{\text{on subst.}}+\Delta U_{\text{subst.}}$ . Что дальше? Малые резервуары сбросят поглощенное тепло в резервуар 1К через малые машины?

[realeugene]

У вас ошибка на ошибке. Попытайтесь перечитать параграф сначала, не делая своих предположений. Особо обратите внимание на то, как работают машины на каждом участке и куда какие потоки тепла направлены. Например, вы пишете "мы вернули вещество в состояние a", и далее "которое пошло на нагрев вещества". Какой "нагрев", если 'a' - самая холодная точка на диаграмме?

[se-sss]

Я вот тоже поначалу думал, что понял, но потом понял, что не понял.
Попробую сформулировать.
Пусть в круговом цикле мы совершили над газом работу $A$.
Она целиком ушла в резервуары, так как газ вернулся в исходное состояние:
$A=\sum\limits_{i}dQ_i$

Тепло, полученное резервуарами, ушло на работу и передано, как тепло, в холодильник:
$dQ_i=dW_i+\frac{dQ_i}{T_i}$

Всё вместе:
$A=\sum\limits_{i}dQ_i=\sum\limits_{i}(dW_i+\frac{dQ_i}{T_i})$

Работу машин Карно, можно считать, как работу над машинами Карно, но с противоположным
знаком. Вместе с работой непосредственно над газом это будет:

$A-\sum\limits_{i}dW_i=\sum\limits_{i}\frac{dQ_i}{T_i}$

Итак, суммарная работа над системой пошла на нагрев холодильника 1K.
Всё остальное вернулось в прежнее состояние.
Но система строилась, как обратимая. Тогда можно взять тепло, полученное холодильником и сделать из него обратно работу, при этом восстановив прежнее состояние газа и машин Карно.
Но это невозможно, следовательно, холодильник тепла не получил и
$A-\sum\limits_{i}dW_i=\sum\limits_{i}\frac{dQ_i}{T_i} = 0$

А это сумма изменений энтропии газа за цикл. То есть в круговом цикле энтропия газа вернулась к исходной. То есть разница энтропий не зависит от пути изменения состояния газа.

Вроде звучит разумно.

[Walker_XXI]

se-sss в сообщении #1272479 писал(а):

Вроде звучит разумно.

Однако с формулами беда. Начиная вот отсюда:

$$dQ_i=dW_i+\frac{dQ_i}{T_i}.$$

Вы складываете величины разных размерностей - работу и энтропию, приравниваете тепло и тепло, делённое на температуру. В остальные детали не вникал.

[se-sss]

Нет, не беда.
$dQ_i$ - это тепло, полученное маленькой машиной Карно от нагревателя.
Холодильнику $1°$она отдаст $\frac{dQ_i}{T_i}$.
Можно было бы написать $\frac{dQ_i}{T_i}1°$.