О форме капиллярного мостика

[DimaM]

Имеем две параллельные поверхности на расстоянии $h$, между которыми находится капиллярный мостик. Объем жидкости $V$, краевой угол $\theta$. Вопрос: возможно ли найти форму этого мостика?
Очевидно, это будет тело вращения, причем симметричное относительно центральной плоскости и ограниченное поверхностью постоянной кривизны (пренебрегаем силой тяжести). Зададим радиус $r$, зависящий от продольной координаты $x$, тогда при заданной кривизне $K$ получаем уравнение ($\dot{r}=dr/dx$)

$$r^2=R_0^2+\dfrac{2}{K}\left(\dfrac{r}{\sqrt{1+\dot{r}^2}}-R_0\right).$$

Здесь $R_0$ - радиус мостика в середине.
Получается какой-то эллиптический интеграл, который нужно будет интегрировать еще раз, чтобы найти объем. А потом еще обратить, чтобы выразить $r(x,h,V)$. Нет ли какого-нибудь способа решения попроще?
Даже форму полностью искать не обязательно, достаточно найти радиус пятна контакта жидкости с плоскостями $R_1$. После этого я могу найти кривизну

$$K=\dfrac{2(R_1\sin\theta-R_0)}{R_1^2-R_0^2}$$

и собственно необходимую мне силу, с которой жидкость действует на плоскости ($\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения)

$$F=\pi R_0^2\sigma K-2\pi R_0\sigma=-\dfrac{2\pi\sigma R_0R_1(R_1-R_0\sin\theta)}{R_1^2-R_0^2}.$$

То есть нужно выразить $R_0$ и $R_1$ из известных $h,V,\theta$, чего я пока что не могу сделать.

[Munin]

Кажется, формы поверхностей жидкости с поверхностным натяжением, даже в осесимметричном случае, сложная и только частично решённая математическая проблема. Недавно про это упоминали на форуме, давали ссылки на статьи с картинками.

[DimaM]

Munin в сообщении #1185215 писал(а):

Кажется, формы поверхностей жидкости с поверхностным натяжением, даже в осесимметричном случае, сложная и только частично решённая математическая проблема.

Я как раз до этого дошел, потому и спрашиваю - вдруг кто-то знает простое хотя бы приближенное решение.