Метаметатеория

[Sinoid]

Здравствуйте! Я эту тем начинал про другое, но после ответа

arseniiv в сообщении #1184138 писал(а):

Sinoid в сообщении #1184130

писал(а):
Так что получается, понятие истинности/ложности присутствует и в метаматематике. Верно? Я не чувствую, что понимаю, что стоит отвечать на такой вопрос, если метатеория не формализована. Если формализована в какой-то метаметатеории, то ответ будет дан тем, как именно. Может, это просто система вывода, и об интерпретациях формул, а потому и истинности, ничего не говорится.

понял, что надо писать про другое. Вот у Клини, во введении в..., на стр. 83 есть такое место: "Если $\Gamma\vdash\mathrm{E}$, то $\Gamma,\,\Delta\vdash\mathrm{E}$", где $\Gamma,\,\Delta$- конечные, в том числе, и, быть может, пустые последовательности формул. Это ведь получается, что это утверждение, стоящее в кавычках, принадлежит к метаметатеории какой-либо формальной теории. Верно?

[arseniiv]

Нет, просто к метатеории. Запятая тут — просто соединение последовательностей.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184202 писал(а):

Нет, просто к метатеории

Вы имеете ввиду метатеорию какой-либо конкретной формальной теории, определенную здесь:

в конце и являющеюся частью раздала математики, называемого метаматематикой, да?

[arseniiv]

(А насчёт метаметатеории такого вопроса у вас при этом не было?) В той метатеории, которую мы имели в виду в той теме, которая говорит в обсуждаемой там книге пока что только про логику высказываний. Но вообще никто не мешает формулировать несколько теорий в одной и той же метатеории. Кроме того, неформальные метатеории так просто друг с другом не сравнить как формальные.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184362 писал(а):

метаметатеории

Да у меня про метаметатеорию и в голове не было, пока вы не упомянули про нее.

arseniiv в сообщении #1184362 писал(а):

В той метатеории, которую мы имели в виду в той теме, которая говорит в обсуждаемой там книге пока что только про логику высказываний

Это позволяет мне думать, что ответ на мой последний пост все-таки положительный. А вот в той метатеории, к которой принадлежит свойство

Sinoid в сообщении #1184163 писал(а):

"Если $\Gamma\vdash\mathrm{E}$, то $\Gamma,\,\Delta\vdash\mathrm{E}$

уже ведь определены понятия истинность/ложность ?

[arseniiv]

Я не знаю, на какой странице книги Клини это встречается, но обычно истинность определяется раньше выводимости, потому есть повод сказать «да».

[Sinoid]

А я уж думал, опять чушь какую-то написал, что и общаться никто не хочет.

arseniiv в сообщении #1184600 писал(а):

Я не знаю, на какой странице книги Клини это встречается

стр. 83.

arseniiv в сообщении #1184600 писал(а):

но обычно истинность определяется раньше выводимости, потому есть повод сказать «да».

если бы все так было просто но, увы, истинность/ложность вводится на стр. 116, ну очень далекой от стр. 83. Так что, строго говоря, смысл свойства

Sinoid в сообщении #1184163 писал(а):

"Если $\Gamma\vdash\mathrm{E}$, то $\Gamma,\,\Delta\vdash\mathrm{E}$",

ИМХО, представляется довольно размытым.

[arseniiv]

Тогда посмотрите, что такое $\vdash$, а то я подумал, что выводимость, а вдруг не она.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184666 писал(а):

Тогда посмотрите, что такое $\vdash$, а то я подумал, что выводимость, а вдруг не она.

Ну нет же! Знак $\vdash$ означает выводимость.

[arseniiv]

Что ж, видимо, выводимость появилась раньше истинности. Ну, бывает. Просто если вводить их в таком порядке, может быть не совсем ясно, зачем она, эта выводимость, нужна. А может и быть.

-- Сб янв 14, 2017 22:26:14 --

Или истинность у него была определена, но таким неявным и разнесённом на многие страницы образом, какой мы уже обсуждали недели три назад.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184680 писал(а):

Или истинность у него была определена, но таким неявным и разнесённом на многие страницы образом, какой мы уже обсуждали недели три назад.

Скорее всего, дело намного хуже. Вот посмотрите, что Клини пишет про метатеорию на стр. 61:

И ведь это уже никакое не историческое отступление, это полноценный учебный материал. Одна интуиция и понимаемость, а строгостью при необходимости можно и пожертвовать. И это написано в книге (серьезной) по математике. А вообще получается ситуация, близкая к тупиковой: тот, кто сейчас изучает темы, близкие к моей, не могут мне помочь в силу ограниченности своих знания, а тот, кто уже в силе, наподобие вас, arseniiv, не будет это перечитывать, чтобы вникнуть в нюансы и как выбраться из этого порочного круга ума не приложу

[arseniiv]

Хм. Ну. Всё ведь так и есть как он написал. Мы не можем формализовать вообще всё, у нас в любом случае мозг устроен неподходящим для этого образом. Либо метатеория формализована и является объектом изучения матлогики, либо не, и тогда не является, и некорректно спрашивать про неё что-то, что можно спрашивать про формализованную. Но это не является чем-то ужасным и ломающим всё здание математики.

Я по-прежнему считаю, что вам стоило бы почитать сначала другие учебники, а уж потом «Введение в метаматематику». Допустим, она бы даже была монографией по матлогике (она не, т. к. есть куча интересных логик, там не рассмотренных), по монографии учить предмет немного странно, так что вам в любом случае для хорошего знакомства не будет достаточно одной книги. Не бойтесь начать читать несколько. У нас в голове в любом случае всегда будут незаконченные представления, и тем больше, чем аккуратнее мы будем относиться к тому, что и почему считаем себе верным.

-- Вс янв 15, 2017 21:32:06 --

P. S. Если бы я увидел более конкретный вопрос, я бы попытался ответить, но пока не вижу.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1185009 писал(а):

Я по-прежнему считаю, что вам стоило бы почитать сначала другие учебники, а уж потом «Введение в метаматематику».

Да кого я только не пробовал читать, все книги более элементарного уровня, типа Игошина, Верещагина порождают в моей голове идейки про импликацию, которые я неоднократно обсуждал на этом сайте в том числе и с вами. Я, собственно и взялся за Клини, чтобы разобраться с импликацией: все (почти) ее понимают, один я никак. Мне посоветовали Клини, думаю: ага, ну уж эта книга расставит все точки над и. Да еще и Someone так уверенно отвечал на мои тупиковые вопросы. Ну все, думаю, после этой книги у меня точно вопросов не останется. Начал читать и вот другой тупик.

arseniiv в сообщении #1185009 писал(а):

Не бойтесь начать читать несколько.

пробовал. Вот читаешь несколько книг. Бац, наткнулся на тупик, пока разгребешь, все согласуешь (это если еще вообще согласуешь, а то писать сюда лишний раз не торопишься, чтоб не надоедать на будущие, более сложные случаи, так что иной раз прокопаешься несколько дней, пока не поймешь, что имеешь дело наподобие со случаем, обсуждаемым в этой теме. И пока ты это поймешь, начинает ухудшаться понимание других книг: идеи-то из них еще не были уложены в голове, а тут с тупиком пришлось просидеть.

arseniiv в сообщении #1185009 писал(а):

У нас в голове в любом случае всегда будут незаконченные представления

но при изучении других разделов у меня столько незаконченных представлений не возникало, я думал, и логику можно изучать с такой же цельной картинкой, стоит только подобрать подходящую книгу.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1185025 писал(а):

Я, собственно и взялся за Клини, чтобы разобраться с импликацией: все (почти) ее понимают, один я никак.

Хм, но вы же вроде её поняли когда-то уже?

А что с импликацией — всё ещё таблица истинности, или что-то другое?

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1185030 писал(а):

Хм, но вы же вроде её поняли когда-то уже?

Да нет же, вы путаете, мы расстались на том, что я сказал спасибо всем, но, к сожалению, так до конца и не понял, но буду разбираться.

arseniiv в сообщении #1185030 писал(а):

А что с импликацией — всё ещё таблица истинности, или что-то другое?

Да с таблицей истинности как раз все ясно, она мне ночью снится .
Вот смотрите. Была теорема "Если число делится на 4, то оно делится и на 2". Записываю ее в виде импликации $A\rightarrow B$. Для этой импликации составляю таблицу истинности, в ней 4 строки. Это понятно. А вот как истолковать, скажем, вторую строку этой таблицы, как бы это сказать, в терминах, словами, понятиями исходной теоремы "Если число делится на 4, то оно делится и на 2"?