Уравнение в натуральных числах

[Andrey A]

$x^t+y^z=(x-y)^{z-t}$
Одно решение здесь:

(Оффтоп)

$10^2+3^5=7^3$

А больше не знаю. Случайно заметил, может было где-то?

[Markiyan Hirnyk]

$\{x=9,\,y= 3,\,z= 3, \,t=1\},\,\{ x=3,\, y=1,\,z= 3,\, t=1 \}$.

[grizzly]

Вот ещё забавное решение в целых числах: $\{x=-1,\,y= -3,\,z= 2, \,t=-1\}$.

[Andrey A]

Цитата:

Markiyan Hirnyk

+ +

grizzly в сообщении #1184484 писал(а):

... забавное решение в целых числах.

Да, можно расширить до целых, только не нулевых. Чтобы сохранял смысл вопрос о конечности числа решений. Или же так: $x^t+y^z=\left| x-y\right|^{\left|z-t \right|}$
Тогда Ваше решение удается записать без единиц: $\left|x=-3,y=-2,z=3,t=2 \right|$.

[atlakatl]

$30^2+(-4)^4=34^2$
А вот других решений, кроме авторского и Markiyan Hirnyk, при положительных параметрах не находится что-то.

-- 14.01.2017, 15:47 --

При разнознаковых x и y есть общее решение:
$y^3-y=2 \ctod x$, при $t=2, z=4$.
К примеру:
$9828^2+(-27)^4=9855^2$
Так что следует заняться именно положительными x и y.

[atlakatl]

atlakatl в сообщении #1184514 писал(а):

$y^3-y=2 \ctod x$, при $t=2, z=4$.

Извиняюсь:
$y^3-y=-2 \ctod x$, $y<0$, конечно.

[Andrey A]

То есть имеем бесконечную последовательность решений $\{x=\frac{n^3-n}{2},y=-n,z=4,t=2\}$? Да, и возможно не единственную. Если подобная найдется для положительных, то может их и помимо того не конечное число?

[atlakatl]

Andrey A
Сканирование до $x=100000$ и $y=1000$ не даёт других результатов.

[Andrey A]

Если положить $x$ целым квадратом $(\rightarrow x^2)$ при $z=3,t=1$ получаем систему $\begin{cases} & n^2-x^2=y^3 \\ & x^2-n= y \end{cases}$ и в качестве необходимого условия - уравнение $n^2-n=y^3+y$. Оно имеет решения $\{n=2,y=1\}$ и $\{n=6,y=3\}$, а больше не видать. Какова бы ни была квадратичная функция в левой части, интересно, может такое ур-е иметь более чем конечное число решений?

[atlakatl]

Подобрать целочисленный полином $x^a+y^b=z^c$ удаётся только в тривиальный случаях:
1. Знаменитые пифагоровы тройки: $3^2+4^2=5^2$
2. Тривиальщина типа $16^5+16^5=8^7$
3. Или типа $7^3+7^4=14^3$
4. Или $3^3+6^3=3^5$
А вот найти решение наподобие $x^{17}+y^{31}=z^{47}$ - или доказать его несуществование - не так просто. С ВТФ три века возились, а тут более общая задача.

[Andrey A]

Спасибо. Мне тут нечего добавить, остается коллекционировать тройки с попарно вз. простыми $a,b,c$.

[atlakatl]

$654^2+127^3=19^5$
Хотя первый - всего лишь - квадрат не слишком кошерно.

[atlakatl]

$1242^2+9^5=117^3$
И опять квадрат.
Кто-нибудь может привести нетривиальные значения более высоких степеней? Или дать ссылки на их ограниченность в числовом пространстве?

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1185064 писал(а):

Или дать ссылки на их ограниченность в числовом пространстве?

Или я не понял вопрос про пространство или Вы не слышали про гипотезу Била

[atlakatl]

grizzly
И слышал, и читал. Забыл. Слышал звон, да не запомнил, где он.
Теперь можно вздохнуть спокойно. Тягаться в поиске контрпримера с проектом распределённых вычислений я не буду.
Спасибо.