Калибровка векторного потенциала

[StaticZero]

Дальнейший текст приводится из учебного пособия, по которому читаются лекции.

Цитата:

$$ \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A $$

Вводимый данным соотношением векторный потенциал обладает гораздо большей неоднозначностью, чем потенциал скалярный, поскольку определяется с точностью до градиентного преобразования. (Пусть $\mathbf A'$ - векторный потенциал, отличающийся от указанного выше слагаемым $\operatorname{grad} f$, тогда будем иметь то, что следует дальше. — примечание моё для ясности фрагмента)

$$ \operatorname{rot} \mathbf A' = \operatorname{rot} \mathbf A + \operatorname{rot} \operatorname{grad} f = \operatorname{rot} \mathbf A = \mathbf B. $$

Указанная свобода выбора векторного потенциала позволяет использовать для него существенно различающиеся конкретные выражения (т. н. калибровки) в зависимости от особенностей рассматриваемой задачи. Например, в задачах магнитостатики используется поперечная калибровка:

$$ \operatorname{div} \mathbf A = 0. $$

Это условие может всегда считаться выполненным. Действительно, пусть есть другой векторный потенциал $\mathbf A'$, для которого $\operatorname{div} \mathbf A' = g(\mathbf r)$, где $g$ -- скалярная функция координат. Тогда найдётся градиентное преобразование, представляющее векторный потенциал в поперечной калибровке:

$$ 0 = \operatorname{div} (\mathbf A' + \operatorname{grad} f) = g + \operatorname{div} \operatorname{grad} f = g + \Delta f, $$

откуда

$$ f = \dfrac{1}{4 \pi} \iiint \limits_V \dfrac{g \, \mathrm dV}{r}. $$

Таким образом, приведение к поперечной калибровке происходит так:

$$ \mathbf A = \mathbf A' + \operatorname{grad} f. $$

Здесь считается, что точка наблюдения в начале координат, а вектор $\mathbf r$ проведён от источника магнитного поля в точку наблюдения.

А вопросы такие: как мы нашли $f$? Что это за интеграл? По объёму чего он берётся?

[amon]

Тут логика примерно такая. Хочется мне наложить калибровочное условие $ \operatorname{div} \mathbf A = 0.$ Вопрос: всегда ли я могу это сделать? Пусть у меня есть какой-то потенциал $\mathbf{A}'(\mathbf{r})$, для которого $\operatorname{div}\mathbf{A}'(\mathbf{r})=g(\mathbf{r})$. Попытаемся найти такую функцию $f(\mathbf{r})$ что бы $\operatorname{div}(\mathbf{A}'+\nabla f)=0$. Получим уравнение $\Delta f=g$. С таким уравнением Вы наверняка уже встречались: $\Delta \varphi=4\pi \rho$ (электростатика), и если $g=\operatorname{div}\mathbf{A}'$ "хорошая" функция (достаточно гладкая и достаточно быстро убывающая на бесконечности), то решение этого уравнения Вы сразу напишите - это потенциал заряда, распределенного с плотностью $g/4\pi$. Тогда $f(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\iiint dV'\frac{g(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$ (по аналогии с $\varphi(\mathbf{r})=\iiint dV'\frac{\varphi(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$). Остается вопрос полностью ли это условие определяет калибровку? Если мы сделаем еще одно калибровочное преобразование $\mathbf{A}+\nabla h$ и потребуем, что бы условие $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$ сохранилось, то получим уравнение на $h$: $\Delta h=0$. Убывающих на бесконечности решений такого уравнения, как Вы наверно знаете, не существует. Поэтому получается такой ответ. Если наши потенциалы "хорошие" и мы хотим, что бы они такими и остались, то "кулоновская калибровка" хорошая (говорят "допустимая") и полностью выбирает "калибровочную свободу" в выборе потенциала. Т.е. калибровочное условие $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$ в купе с требованием убывания потенциала на бесконечности (на самом деле, достаточно ограниченности) однозначно определяет потенциал.

[StaticZero]

amon в сообщении #1184495 писал(а):

это потенциал заряда, распределенного с плотностью $g/4\pi$

Во всём пространстве, надо понимать?

[amon]

StaticZero в сообщении #1184496 писал(а):

Во всём пространстве, надо понимать?

Угу.

[StaticZero]

То есть тогда интеграл распространяется на всё пространство $\mathbb R^3$. Хорошо, вроде, понял — ссылка на электростатику.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1184492 писал(а):

Дальнейший текст приводится из учебного пособия, по которому читаются лекции.

По этой теме рекомендуется дополнительно прочитать:
1) тему про калибровочную свободу, калибровочную инвариантность, и популярные калибровки в электродинамике, где-нибудь в учебниках по физике и теорфизике (вершина - Ландау, Лифшиц. Теория поля. § 18, но там слишком лаконично);
2) тему про восстановление скалярного и векторного потенциала по заданному векторному полю, и разложение Гельмгольца, по хорошей книжке по уравнениям математической физики.

Базовая идея вот в чём.
1. Операция дифференцирования "теряет информацию". То есть, существуют разные функции с одинаковыми производными.
2. Обратная операция - найти "первообразную" функцию по заданной производной - таким образом, не однозначна. Она имеет некоторую "свободу".
3. В случае функций одной переменной, эта "свобода" была очень простой: достаточно было написать $\ldots+C.$ В случае функций в пространстве, эта "свобода" становится намного более богатой: существуют целые классы функций, для которых $\operatorname{div}\mathbf{v}=0,$ или $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0,$ или тем более $\operatorname{\Delta}f=0.$ Однако, часто стоит задача найти только хотя бы одну какую-то "первообразную" функцию, или можно перейти от одной "первообразной" к другой по известным правилам.

4. Оператор дифференцирования можно воспринимать как линейный оператор в пространстве функций: $Df=g.$ Чтобы искать "первообразную", надо найти обратный оператор: $f=D^{-1}g.$ Из вышесказанного ясно, что такой обратный можно найти не однозначным образом.
5. В линейной алгебре, чтобы найти матрицу обратного оператора, можно решить задачу $Av=e_i,$ где $e_i$ - базисный вектор, то есть в одной координате у него 1, а во всех остальных - 0. Если мы знаем решения таких задач для всех $i,$ то набор таких $v(i)$ и будет матрицей обратного оператора, записанной по столбцам.
6. Можно проводить аналогию между координатами вектора, и значениями функции в точке. Тогда базисный единичный вектор соответствует "дельта-функции" $\delta(x-x_0),$ которая равна 0 во всех точках, кроме одной. А в этой одной - она хотела бы быть равной 1, но тогда с ней будет не так удобно работать. По аналогии, суммы по координатам превращаются в интегралы по пространству аргументов функции, поэтому "дельта-функция" определена так: она бесконечна в точке $x_0,$ причём бесконечна ровно настолько, чтобы $\int \delta(x-x_0)\,dx=1.$ (Интеграл берётся по любой окрестности $x_0.$)

7. Итак, задача ставится такая: мы должны найти такую "первообразную" функцию, что её производная будет дельта-функцией. Например,

$$\operatorname{div}\mathbf{v}=\delta(\mathbf{r}),\qquad\textit{или}\qquad\operatorname{rot}\mathbf{v}=\mathbf{n}\,\delta(\mathbf{r}).$$

Вообще говоря, эта задача сложная! В полном виде её решают в курсе ураматов, большим потом и кровью, и называют функцией Грина для оператора дифференцирования.
8. Но нам повезло: в бесконечном пространстве мы уже знаем решение! Вспомним аналогию с гравитацией или электростатикой: нам нужны, по сути, векторное поле и потенциал для точечного заряда (точечной массы). А они даются законом Ньютона (Кулона)! Итак, мы сразу достигли двух важных фактов:

$$\operatorname{div}\Bigl(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\Bigr)=4\pi\,\delta(\mathbf{r}),\qquad\operatorname{\Delta}\Bigl(\dfrac{1}{r}\Bigr)=-4\pi\,\delta(\mathbf{r}).$$

Из таких функций и будет состоять наша "матрица" обратного оператора (в случае функций говорят - (интегральное) ядро оператора; этот термин не совпадает со смыслом слова "ядро отображения").
9. Окончательно результат записывается как раз формулой, которую вы видите:

$$\begin{gathered} \operatorname{div}\mathbf{v}=g\qquad\to\qquad \mathbf{v}=\int\,dV\,\Bigl(\dfrac{\mathbf{r}}{4\pi\,r^3}\Bigr)\cdot g \\ \operatorname{\Delta}\mathbf{f}=g\qquad\to\qquad f=\int\,dV\,\Bigl(\dfrac{-1}{4\pi\,r}\Bigr)\cdot g \end{gathered}$$

Начинали мы с дифференциальных операторов, а обратив их, получили интегральные. Причём интегрирование должно проводиться по всему трёхмерному пространству, иначе ответ будет неправильный. (В случае другой области интегрирования, у нас могла возникнуть другая функция Грина, отвечающая другому решению задачи для точечного заряда.)

Аналогичные приёмы применяются для решения ряда других уравнений (по сути, мы работали не просто с дифференциальным оператором, а с дифференциальным уравнением). Например, таким способом можно решить задачу интерференции, или задачу распространения волн, или задачу реакции некоторой (линейной) системы на воздействие, зависящее от времени. Важнейшее ограничение: всё это работает, только если исходные операторы и уравнения были линейными!

[StaticZero]

Спасибо. Спрячу в "нетленку".

[Munin]

Заметил и поправил одну опечатку.

-- 14.01.2017 22:18:01 --

Да, ещё важно! В окончательных формулах с интегралами, под интегралом $\mathbf{r}$ имеет смысл вектора из точки, в которой мы берём значение $g$ (и подынтегральную функцию) в точку, в которой мы вычисляем функцию $f$ (она фиксирована как внешний параметр при вычислении интеграла). То есть, в обозначениях amon, $\mathbf{r}-\mathbf{r}'.$

[Atmosfera]

(Оффтоп)

Это можно как-то сохранить? Очень красиво.

[Munin]

Это набросано слишком скомканно, чтобы куда-то сохранять. Наверняка в куче мест изложено лучше.