Поверхность в 5D. Что делать, что делать?!

[INGELRII]

Занимаясь алхимическими изысканиями, я придумал уравнение поверхности (двумерной) в пятимерном пространстве:

$\begin{cases} \sum \limits_{cyc} x_i^2 = 5 \\ \sum \limits_{cyc} x_i^4 x_{i+1}^2 = 5 \\ \sum \limits_{cyc} x_i^2 x_{i+1}^4 = 5 \end{cases}$

Координаты здесь, конечно же, $x_1, x_2, \ldots, x_5$, суммы все ведутся по циклической перестановке индексов у координат. Так, первое уравнение - это просто гиперсфера с радиусом $\sqrt{5}$. Пятерки в правых частях стоят просто для удобства, чтобы было очевидно, что поверхности принадлежат точки с координатами $( \pm 1, \pm 1, \ldots, \pm 1)$. Если это у кого-то вызывает эмоциональное отторжение, то можно и перемасштабировать свободные коэффициенты: первый в единицу, другие два в $\frac 1 {25}$.

Откуда вообще взялась такая система? Из головы, есть вот у меня такое подозрение, что заданная этой системой поверхность должна быть очень красивой. Итак, с вводной частью, надеюсь, покончено, и пора уже задать вопрос:

Как эту поверхность вообще исследовать?! Аналитическими методами я пасую. Первое, что приходит в голову - выразить через две переменные остальные три; fail. Вторая мысль - хитрым образом задействовать тригонометрические функции, чтобы все при помощи эльфийской магии упростилось; fail.

Третья мысль уже была задействовать численные методы, а именно построить кучу точек, лежащих на поверхности, потом триангулировать по ним, там уже можно исследовать поведение в малых окрестностях и всячески издеваться. Что же, допустим. Но тут возникает необходимость строить эти точки таким образом, чтобы они покрывали поверхность более-менее равномерно, чтобы не было таких ее участков, на которые ни одной точки не попало, к примеру. Как?

Опять же мысль номер один: просто взять гиперкуб, содержащий поверхность внутри, разбить стороны на, допустим, $1000$ частей или еще мельче, и пройтись по всем точкам. Если растояние от точки до поверхности меньше некоего $\varepsilon$, то считаем, что точка лежит на поверхности; если больше, что не лежит. Эта мысль, очевидно, глупая. Расчеты я, естественно, буду вести на собственном ПК, а он не потянет обработку $1000^5$ точек.

Мысль номер два: первое уравнение - это гиперсфера. Ее несложно параметризовать, и построить достаточно равномерно лежащие на ней точки. А потом смотрим, удовлетворяют ли они двум другим условиям. Тогда требуется обработать около $1000^4$ точек. Это, конечно, уже поменьше, но все равно чрезмерно много.

Мысль номер три: метод Монте-Карло. Организуем случайное построение точек таким образом, чтобы они располагались на поверхности равномерно, а потом строим их, пока не надоест. Ну, проблема в том, что я понятия не имею, как же этой равномерности добиться.

Примерно тут я иссяк полностью. Буду рад любым, абсолютно любым умным мыслям на тему того, с какого же краю к системе подойти. Хоть аналитически, хоть численно, хоть как еще.

[Vince Diesel]

Точек на поверхности можно набрать методом Монте-Карло. Во-первых, все степени четные и если $(x_1,x_2,\ldots)$ $-$ решение, то и $(\pm x_1,\pm x_2,\ldots)$ решения. Так что можно ограничиться только частью поверхности, у которой все координаты положительны.

Во-вторых, построить равномерное распределение сфере известно как и легко делается. А именно, если $\xi_i\sim N(0,1)$ $-$ независимые одинаково распределнные нормальные величины, $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_5)$, то $\zeta=5 \xi/|\xi|$ и будет равномерным распределением на сфере радиуса $5$. При вычислениях надо будет брать $|\xi_i|$ вместо $\xi_i$, раз все координаты неотрицательны. В матпакетах нормальное распределение реализовано. Вместо второго и третьего уравнений $f_2=0$ и $f_3=0$ при проверке принадлежности точки к поверхности взять неравенства $|f_i|\le \varepsilon$, где $\varepsilon$ некоторое маленькое положительное число вроде $10^{-2}\ldots10^{-4}$. Сгенерировать, например, $10^6$ точек на сфере и сделать $2\cdot 10^6$ проверок вполне реально.

Кроме того, в силу перестановочной симметрии $x_i\to x_{i+1} cyc$ из каждого найденного решения можно получить пять точек на поверхности. Дальше можно рисовать проекции этих наборов точек на плоскости вроде $x_3=x_4=x_5=0$ просто откидывая часть координат. Если на поверхности есть какие-то складки, а точек найдено достаточно много, по идее, на проекциях эти складки должны быть видны. В пакетах с графикой можно и трехмерные проекции строить и крутить.

[vpb]

Возможно, Вы хотите найти процедуру, которая бы давала способ порождать много точек на этой поверхности, причем они были бы распределены на ней относительно равномерно, плотно, и собственно лежали на поверхности, (расстояние от точки до поверхности мало, грубо говоря порядка машинного нуля), а не то чтобы просто лежали близко к поверхности. Или Вы что-то другое имеете в виду?

Еще вот что. Вы пишете "я собираюсь сделать то-то и то-то, таким-то способом", но при этом непонятно, на какой конкретно
вопрос Вы хотите найти ответ. Постарайтесь более ясно поставить вопрос, тогда будет более ясно, где искать ответ. Дело в том, что в алгебраической геометрии про поверхности ставят одни вопросы, в дифференциальной -- другие, а в компьютерной графике третьи. Как эту поверхность исследовать,зависит от того, что Вы конкретно хотите про нее узнать.

В любом случае, поверхность можно преобразовать к более простым координатам. Заменим $y_i=x_i^2$, тогда определяющие уравнения примут вид $\sum y_i=5$, $\sum y_i^2y_{i+1}=5$, $\sum y_i^2y_{i-1}=5$, и еще появятся ограничения $y_i\geq0$. Сумма по всем $i=1,2,3,4,5$, и индексы понимаются с точностью до циклического сдвига, так что $y_0=y_5$ и $y_6=y_1$. Затем, из первого условия можно $y_5$ выразить линейно через $y_1,\ldots,y_4$, и подставить в оставшиеся два условия. Получится две кубических гиперповерхности в четырехмерном пространстве, их пересечение -- некоторая поверхность. Ясно, что любой точке на этой новой поверхности соответствует 32 (или меньше, если некоторые из $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$ или $y_5=-y_1-y_2-y_3-y_4$ --- нули) точек исходной поверхности.

[Munin]

Вообще вся эта наука называется алгебраической геометрией. По ней есть куча книжек. Но она считается весьма сложной.

[EXE]

INGELRII, конкретная система уравнений должна, наверно, соответствовать реальному физическому процессу, тогда будет понятно, с чего начинать и для чего это делать. Если Вы даже просто хотите посмотреть на поверхность, то на какую, и в каком конкретном пространстве? Для обзора у Вас сочетание по 3 из 5, то есть, 10 вариантов проекций. Допустим, и это реально, матпакет даст Вам возможность посмотреть, только что из этого можно будет понять.

[vpb]

Munin в сообщении #1182490 писал(а):

Вообще вся эта наука называется алгебраической геометрией. По ней есть куча книжек. Но она считается весьма сложной.

Позвольте Вас поправить, дабы ТС не пугался. Поверхности и кривые изучает не только алгебраическая геометрия, а алгебраическая геометрия --- не только поверхности и кривые.

INGELRII
Относительно литературы по этой самой алгебраической геометрии как раз недавно обсуждалось, внутри темы "Кто как пришел к изучению общей топологии" в форуме "Свободный полет".

[arseniiv]

EXE в сообщении #1182568 писал(а):

Для обзора у Вас сочетание по 3 из 5, то есть, 10 вариантов проекций.

И меньше, и больше. Меньше из-за инвариантности хотя бы относительно группы замен $\langle(x_1\mapsto x_2,\ldots,x_5\mapsto x_1)\rangle$, больше из-за того что можно осмысленно отображать не только ортогональной проекцией всего подряд и только на подпространства, натянутые на подмножество канонического базиса.

[INGELRII]

Извиняюсь за то, что так надолго исчез. В данный момент как раз изучаю литературу по алгебраической геометрии, и с ужасом осознаю собственную малообразованность. Давайте вернемся к этой теме, когда я повышу свой уровень и смогу вести беседу более осмысленно. Где-то через год, наверное.

Большое спасибо всем откликнувшимся!