Вероятность совпадения наборов цифр

[Truedoday]

Здравствуйте!

Есть две случайных группы, состоящих из $n$ цифр. Каждая цифра каждой группы лежит в диапазоне $0..9$. Определить вероятность того, что обе группы составлены из одинаковых наборов цифр.

Возможно применяю не общепринятую терминологию, поэтому поясню: 2134 и 4312 имеют одинаковый набор цифр.

Решил сначала для частного случая $n=6$. Пусть есть первая случайная группа из 6 цифр. Случайно выбираю первую цифру второй группы. Вероятность совпадения двух цифр $P_1=0.1$. Сравниваю первую цифру второй группы с каждой из цифр первой группы. Вероятность того, что первая цифра второй группы совпает хоть с одной из первой группы $P_6=0.1 \cdot 6=0.6$. Затем, случайно выбираю вторую цифру второй группы, которую нужно сравнить с пятью оставшимися цифрами первой группы $P_5=0.1 \cdot 5=0.5$. И так далее, пока не вытяну все шесть цифр второй группы.
Итоговая вероятность будет равна произведению вероятностей, расчитанных ранее, так как каждая цифра должна была "найти" себе пару в группе:
$P=P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \cdot P_4 \cdot P_5 \cdot P_6 = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.6 =0.00072$.

Очевидно, что при таком решении формула для общаго случая:
$P=\frac{n!}{10^n}$

1. Верно ли мое рещение задачи?
2. Как решить задачу, используя формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки?

[grizzly]

Truedoday
По условию цифры в каждой из групп вполне могут повторяться. И $n$ не обязательно меньше 11.

[Truedoday]

grizzly в сообщении #1184483 писал(а):

Truedoday
По условию цифры в каждой из групп вполне могут повторяться. И $n$ не обязательно меньше 11.

Как я понимаю, моё решение не запрещает цифрам в группах повторяться. Если наборы цифр одинаковые, то каждая цифра первой группы будет иметь "пару" во второй, вне зависимости от того, что это за набор, пусть даже и "55555".

Как Вы поняли, что $n$ не может быть больше или равным 11 в моём решении? Если Вы про интервал $0..9$, то он указывает, какие значения может принимать каждая цифра, коих может быть сколь угодно много.

[slavav]

Ваше решение неверно. Для больших $n$ $P > 1$. Чего не может быть

-- 14.01.2017, 10:55 --

Важный вопрос: $112$ и $122$ считаются составленными из одинакового набора цифр или из разных?

[Truedoday]

slavav в сообщении #1184512 писал(а):

Важный вопрос: $112$ и $122$ считаются составленными из одинакового набора цифр или из разных?

Считать разными наборами цифр.
Есть идеи верного решения в общем случае, или хотя бы для $n=6$? Или хотя бы как найти ошибку в логике моего решения?

[grizzly]

Truedoday в сообщении #1184559 писал(а):

Или хотя бы как найти ошибку в логике моего решения?

Ну вот это сразу бросается в глаза:

Truedoday в сообщении #1184476 писал(а):

Вероятность того, что первая цифра второй группы совпает хоть с одной из первой группы $P_6=0.1 \cdot 6=0.6$.

Если в первой группе могут быть совпадающие цифры, то утверждение, очевидно, неверно.

А Вы не пытались рассмотреть более простой случай? Скажем, для двух цифр в группе? Тогда каждый шаг рассуждения легко контролировать в уме на правдоподобие. Не уверен, что это необходимо для решения задачи, но для понимания Вам оно точно не помешает.
Источник задачи не подскажете?

[Truedoday]

grizzly в сообщении #1184566 писал(а):

Truedoday в сообщении #1184476 писал(а):

Вероятность того, что первая цифра второй группы совпает хоть с одной из первой группы $P_6=0.1 \cdot 6=0.6$.

Если в первой группе могут быть совпадающие цифры, то утверждение, очевидно, неверно.

Так как цифры случайные, то вероятность совпадения двух случайных цифр равна $\frac{1}{10}=0.1$, и тут неважно, какие цифры в группе совпадают, а какие нет, т.к. по сути группу можно рассматривать как $n$ отдельных случайных чисел. Получается, тут я просто неправильно сложил эти вероятности. Или Вы имели ввиду что-то другое?

Источник задачи - случай из жизни... Выяснилось, что номер паспорта моего друга можно получить перестановкой цифр в номере моего паспорта. Начали вычислять вероятность такого события и запутались Последнее решение, которое уже не кажется верным, я представил в первом посте.

[slavav]

Пожалуйста, повторите ваши рассуждения для $n = 2$.

[mihaild]

Truedoday в сообщении #1184587 писал(а):

Получается, тут я просто неправильно сложил эти вероятности

События "первая цифра второй группы совпадает с первой цифрой первой группы" и "первая цифра второй группы совпадает со второй цифрой первой группы" пересекаются, поэтому считать вероятность их объединения как сумму вероятностей нельзя.

А если вам нужно просто ответ для конкретного небольшого числа цифр - он элементарно считается численно.

(а еще учтите, что номера паспортов, вообще говоря, не независимы)

[grizzly]

Truedoday в сообщении #1184587 писал(а):

Источник задачи - случай из жизни...

Да, я потому и уточнил. Методически она не самая приятная, имхо. Ваш уровень понимания отлично подходит при $n=1$; при $n=2$ появляются небольшое, но существенное, отличие и Вы должны его понять (самостоятельно -- хотя бы попытаться); при $n=3$ уже становится понятна общая картина (случай $n=2$ способен, я думаю, подготовить Вас к восприятию этой картины).

[Yadryara]

Поскольку ответа пока нет, дам ещё подсказку. Искомые значения вероятностей $P(n)$ для малых $n$.

$P(1) = 0.1$
$P(2) = 0.019$
$P(3) = 0.00514$

Truedoday, как они были получены?

[Yadryara]

Поскольку ТС на форуме всё же вчера появлялся и, возможно, не утратил интереса к задаче, попробую ещё подсказать.

Думаю, что это можно сделать, поскольку полное решение в биномиальном виде всё равно не даю. Если же подсказываю слишком сильно, надеюсь, модератор мне намекнёт.

$$P(1) = \frac{10\cdot1}{10^2} = 0.1$$

$$P(2) = \frac{90\cdot2+10\cdot1}{10^4} = 0.019$$

$$P(3) = \frac{720\cdot6+270\cdot3+10\cdot1}{10^6} = 0.00514$$

$$P(4) =\frac{5040\cdot24+4320\cdot12+270\cdot6+360\cdot4+10\cdot1}{10^8} = 0.0017587$$

[Lia]

Yadryara
Намекаю.

[Truedoday]

Интерес не потерял - немного занят стал. Я внимательно изучу подсказки в ближайшее время

[Truedoday]

Yadryara в сообщении #1185139 писал(а):

Поскольку ТС на форуме всё же вчера появлялся и, возможно, не утратил интереса к задаче, попробую ещё подсказать.
Думаю, что это можно сделать, поскольку полное решение в биномиальном виде всё равно не даю. Если же подсказываю слишком сильно, надеюсь, модератор мне намекнёт.

Прошу простить за длительное отсутствие.

По вашим выражениям можно записать формулу для общего решения, но хотелось бы понять суть...
Вижу свою ошибку в неправильном применении сложения вероятностей. Совпадения цифр надо рассматривать как совместные события.

Теорема о сложении вероятностей совместных событий.
Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле $P(A+B)=P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$

Получается, вероятность совпадения одной цифры с другой: $P_1=0.1$, вероятность совпадения цифры с одной из двух других цифр: $P(P_1+P_1)=P_1+P_1-P_1 \cdot P_1 = 0.19$ и так далее... Складываю вероятности добавляя по одной цифре к длине.

В общем виде:
Вероятность совпадения цифры с одной из $n$ цифр:

$n=1 | P_1=0.1$
$n=2 | P_2=P_1+P_1-P_1 \cdot P_1 = 0.19$
$n=3 | P_3=P_2+P_1-P_2 \cdot P_1 = 0.271$
$n=4 | P_4=P_3+P_1-P_3 \cdot P_1 = 0.3439$
...
$n=n | P_n=P_{n-1}+P_1-P_{n-1} \cdot P_1$

А решение задачи, получается: $\prod\limits_{k=1}^{n} P_n=P_{k-1}+P_1-P_{k-1} \cdot P_1$.

Но с Вашими ответами не сходится (ниже приведены мои ответы):

$P(1) = 0.1$
$P(2) = 0.019$
$P(3) = 0.005149$
$P(4) = 0.0017707411$

Иронично - моя первая попытка сходилась с Вашим решением только для $P(1)$, вторая сходится и для $P(2)$. Надеюсь, мне не придется сделать бесконечное число попыток, чтоб получить решение для общего случая