О доказательствах в геометрии...

[Nemiroff]

Вот то, что вы написали -- это аксиома? Это определение? Нет -- это "посмотрите на рисунок".

Вот книжка
http://bookzz.org/md5/E9689B8870D569364DC7C99F0DB90FCA
Страница 19, то, что названо II с индексами 1, 2 и 3.
Именно этих свойств (которые вводятся аксиоматически) не хватает.

[Anton_Peplov]

Nemiroff в сообщении #1183757 писал(а):

Вот то, что вы написали -- это аксиома? Это определение? Нет -- это "посмотрите на рисунок".

Так и прямая и точка в Погорелове - "посмотрите на рисунок". Вот прямо так - "на рисунке 1 вы видите точку $A$ и прямую $a$". По-моему, это даже цитата.

Я хотел бы уточнить предмет разговора.

1. Допустим, что все понятия, используемые в списке аксиом из школьного учебника, нам известны. Составляет ли тогда этот список аксиом нормальную, без дыр, аксиоматику евклидовой геометрии? Да.
2. Верно ли, что все понятия, используемые в списке аксиом из школьного учебника, введены в этом учебнике по стандартам строгости, принятым в высшей математике? Нет.
3. Можно ли их там ввести по этим стандартам? Нет.
4. Испытывают ли школьники затруднения при обращении с этими понятиями, найдется ли школьник, которому непонятно, что такое "лежать на прямой между двумя данными точками"? Нет.

Если все участники беседы согласны со всеми четырьмя пунктами, то я не понимаю, о чем мы тут говорим.

[Nemiroff]

Прямая и точка -- это неопределяемые объекты, а аксиомы выражают их свойства. "Лежать с одной стороны" -- это свойство, которое не определяется и через аксиомы не вводится.
Нет. Нет. Да. Нет.

[Pennywise]

А есть ли какие-нибудь логические дыры в аксиоматике Колмогорова? Она приведена, например, в учебнике "Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы" Колмогорова, Семеновича, Черкасова или "Геометрия. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы" Клопского, Скопеца, Ягодовского.

[mihailm]

А что, тут уже типа доказали наличие логических дыр в Погорелове и Атанасяне? Писатели данной темы, как бы помягче сказать, не совсем "в теме")
Какие к черту логические дыры???

[sergei1961]

Нужна ли в школе строго обоснованная геометрия? Возможна ли?

[LionKing]

sergei1961 в сообщении #1183818 писал(а):

Нужна ли в школе строго обоснованная геометрия? Возможна ли?

Прочтите: Расин - "Лекции по геометрии"
Книга писалась для школьников. Правда для умных школьников.)
Книга превосходит по сложности любой стандартный школьный учебник. Однако в этой книге приводится довольно строгое изложение основ. Нужно ли это в обычной школе? Мне кажется, нет.

-- 11.01.2017, 23:23 --

mihailm в сообщении #1183798 писал(а):

А что, тут уже типа доказали наличие логических дыр в Погорелове и Атанасяне? Писатели данной темы, как бы помягче сказать, не совсем "в теме")
Какие к черту логические дыры???

Лучше перечитайте еще раз сообщения Nemiroff. Он все доходчиво объяснил.)

-- 11.01.2017, 23:29 --

Но хотелось бы вернутся "к нашим баранам". Я вел к тому, что на том уровне строгости изложения геометрии, который является стандартом в обычных школах, говорить о каких-то "порочных кругах" напрасно.)

[Nemiroff]

Давайте я ещё раз попробую.
Вот три аксиомы:
15. Любая фигура равна самой себе.
16. Если фигура $\Phi$ равна фигуре $\Phi_1,$ то фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi.$
17. Если фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi_2,$ а фигура $\Phi_2$ равна фигуре $\Phi_3,$ то фигура $\Phi_1$ равна фигуре $\Phi_3.$

Это просто определение равенства, три его свойства явно указаны: рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Нам явно нужны эти свойства, полноценную логику первого порядка с постановкой мы строить естественно не будем, так что симметричность и транзитивность придётся постулировать. С другой стороны, некоторым удобно думать про равенство как про отношение эквивалентности, так что тем более постулирование свойств выглядит правильным.

Предположим, мы бы забыли одну из аксиом, ну пусть рефлексивность. Появились бы такие "геометрии", которые явно не удовлетворяют нашему пониманию геометрии.

Здесь примерно так же: вот в той книжке, что я указал, в ней вполне приличное определение базовых понятий и свойств расположений точек на прямой и плоскости. А в урезанном варианте новых изданий учебников не хватает некоторых кусков. Без них плохо.


Совершенно иной вопрос: есть ли от этого вред, да и нужна ли математическая строгость на таком уровне в курсе школьной математики. На мой взгляд, умение решать задачи важнее.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #1183757 писал(а):

Вот то, что вы написали -- это аксиома? Это определение? Нет -- это "посмотрите на рисунок".

Да, это определение нескольких терминов. Вы спрашивали, что такое "лежать по одну сторону", так вот вам ответ. Если вы знаете, какая точка лежит между (что вводится аксиомой), то знаете и что такое "по одну сторону", "по разные стороны".

-- 11.01.2017 23:51:45 --

Nemiroff в сообщении #1183740 писал(а):

Ну хотелось бы уметь решать такое: вот отрезок, его оба конца принадлежат одной полупрямой. Верно ли, что весь отрезок принадлежит одной полупрямой?

Попробуйте решить эту задачу самостоятельно на основе аксиом II и III.

-- 11.01.2017 23:56:59 --

Nemiroff в сообщении #1183757 писал(а):

Вот книжка http://bookzz.org/md5/E9689B8870D569364DC7C99F0DB90FCA

На книжки принято ссылаться по автору и названию.

У меня эта книжка есть, и не нужна была гиперссылка. Но не открыв вашу гиперссылку, я не знал, какую книжку открывать.

А самое главное, эта книжка
Погорелов. Элементарная геометрия.
не является школьным учебником Погорелова, ни даже его ранним изданием.

Итого, гражданин многократно соврамши.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #1183845 писал(а):

Вы спрашивали, что такое "лежать по одну сторону", так вот вам ответ.

Каков ответ-то? Вот точка на прямой. Она делит прямую на две части? На три части? На одну часть? Какие из точек какой из частей лежат по какую сторону от прямой?
Это не определение. Это не аксиома. Это пример. Верно ли, что все точки которые "на глазок" лежат между $A$ и $B$ действительно лежат между ними? Мне предложили посмотреть на рисунок -- но на рисунке нет всех точек. Если мы хотим абстрактуню аксиому нам придётся явно указать, что точка на прямой делит эту прямую на два непересекающихся связных куска.

-- Чт янв 12, 2017 00:04:14 --

Munin в сообщении #1183845 писал(а):

Итого, гражданин многократно соврамши.

Вам лишь бы ругаться. Ну пусть так, можете сравнить содержания и понять, что это было базой для учебника, или прочесть предисловие. А главное, ну да, так тем более значит в учебнике аксиоматика хреновая.

[knizhnik]

Munin в сообщении #1183704 писал(а):

Аксиомы, приведённые в Погорелове (изд. 1993, 4-е):
Если кто-то что-то заявляет о "дырах", то хотелось бы конкретнее. Причём, речь не об определениях, а именно об аксиомах.

Для этой аксиоматики существует модель, состоящая из одной точки. Нет ни прямых, ни полупрямых, ни лучей (то есть еще раз полупрямых). Нет плоскостей, полуплоскостей, углов, отрезков.

Разумеется, можно привести и другие, более изощренные примеры моделей, в которых рушатся десятки "теорем" Погорелова. Но мне даже лень все это набирать.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #1183850 писал(а):

Это не определение. Это не аксиома.

Я не знаю, что у вас случилось. Вроде, не пятница (некоторые выпивают). Но видимо, временно я вынужден буду прекратить общение на таком низком уровне, и поставить игнор.

-- 12.01.2017 03:17:46 --

knizhnik в сообщении #1183881 писал(а):

Для этой аксиоматики существует модель, состоящая из одной точки. Нет ни прямых, ни полупрямых, ни лучей (то есть еще раз полупрямых). Нет плоскостей, полуплоскостей, углов, отрезков.

Остроумно.

Но между прочим, это тоже евклидова геометрия :-) 0-мерная.

[knizhnik]

Munin в сообщении #1183894 писал(а):

это тоже евклидова геометрия

В этой евклидовой геометрии не доказуемы никакие классические теоремы о многоугольниках.

Munin в сообщении #1183894 писал(а):

0-мерная.

При чем тут вообще размерности? Погорелов вряд ли продумал какие-то размерности, кроме 2 и 3, и ничего не упомянул о них. Между тем, в силу первой аксиомы одномерный случай невозможен.

Munin в сообщении #1183894 писал(а):

общение на таком низком уровне

Необходимое условие, чтобы считать какое-то уверждение аксиомой или определением - формализуемость. Запишите его в виде кванторной формулы. Или попробуйте объяснить, почему сделать это однозначно хотя бы возможно.

Низкий уровень - это уровень приведенных вами определений.

Munin в сообщении #1183894 писал(а):

Я не знаю, что у вас случилось. Вроде, не пятница (некоторые выпивают).

И уровень вашего общения в целом.

[Munin]

knizhnik в сообщении #1183898 писал(а):

В этой евклидовой геометрии не доказуемы никакие классические теоремы о многоугольниках.

Ну почему? Доказуемы. Приведите пример.

Ведь для теоремы не нужно, чтобы хоть один многоугольник существовал.

knizhnik в сообщении #1183898 писал(а):

Необходимое условие, чтобы считать какое-то уверждение аксиомой или определением - формализуемость.

Это вы откуда такое взяли?

[knizhnik]

Munin в сообщении #1183901 писал(а):

Это вы откуда такое взяли?

Это отличие математики от прочих гуманитарных наук.

-- 11.01.2017, 16:36 --

Munin в сообщении #1183901 писал(а):

Ведь для теоремы не нужно, чтобы хоть один многоугольник существовал.

Да, согласен. Для несуществующих объектов выполняются автоматически все теоремы. Но это не спасает теорию от разгрома. Я могу предложить другую модель, в которой нарушаются теоремы из учебника.