Бесконечная двумерная квадратная решетка

[fred1996]

Тут в олимпиадном разделе упоминалась задачка про сопротивление куба и потом бесконечной решетки. С помощью симметрии понятно как решить задачу о сопротивлении такой решетки между соседними узлами. Я пытался посчитать сопротивление между диагональными или еще какими узлами, но ничего толком не придумал. Потом прочел где-то что такие задачи можно решать с помощью дискретного преобразования Фурье.
Подскажите, как это делается. Очень любопытно. Ну или хотя бы хинт какой.

[Munin]

Задачи с решёткой делаются так:
1) Находим сопротивление между уединённым узлом и бесконечностью (которую объединяем в другой узел).
2) После этого, можем найти распределение токов в ближайших ветках, и найти сопротивление между двумя узлами, просто подключая к ним источники по принципу суперпозиции.

Вот конкретные задачи я не помню: была точно квадратная решётка, может быть, полурешётка (решётка на полуплоскости), а вот была ли кубическая... не уверен. Но в принципе, почему бы и нет. (Это не сплошная среда, где 2D и 3D радикально различаются.)

[fred1996]

Для любой простой решетки квадратной, кубической, треугольной etc задача о сопротивлении между соседними узлами действительно решается с помощью задания нулевого потенциала на бесконечности. Тогда ответ зависит от числа элеметов, сходящихся в узле.
Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183491 писал(а):

Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

Через один работает, нужно только токи в ветках расставить.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):

Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.
Запощу пока только ответ: в квадратной решетке сопротивление между соседними точками по диагонали будет $2/\pi$, и $\pi$ участвует в сопротивлении везде кроме непосредственно соседних узлов (между которыми сопротивление $1/2$), сопротивление между узлами по прямой через один узел например будет $2-4/\pi$, а через три узла будет $40-368/3\pi$.

Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

[Munin]

wrest в сообщении #1183582 писал(а):

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда.

Я думаю, если вы сами разобрались в решении, а не просто нашли, то можно попробовать. По крайней мере, в теме уже есть попытки решения, конструктивное обсуждение, которое может быть доведено до ответа.

[fred1996]

wrest в сообщении #1183582 писал(а):

fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):

Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.

Киньте хотя бы в личку.
Наверное это не запрещено правилами.

[DimaM]

wrest в сообщении #1183582 писал(а):

Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

Соглашусь, при разветвлении в соседнем узле направления получаются не эквивалентные, поэтому симметрия не поможет.

[Munin]

Я нашёл ошибку в своих рассуждениях. Предыдущие заявления снимаю.

[wrest]

"Интегральное" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.htm
"Алгебраическое" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath673/kmath673.htm

Там вообще тема "раскопана" очень подробно, в частности обсуждается почему, вообще говоря, "наивное" решение с сопротивлением между соседними узлами по прямой (которое 1/2) не очень-то строгое (зануление потенциала на бесконечности, бесконечное напряжение для бесконечности и т,п.) в общем там много по теме бесконечной сетки сопротивлений.

-- 11.01.2017, 22:14 --

Munin
Вам, я думаю, понравится вот эта часть http://www.mathpages.com/home/kmath670/kmath670.htm :)

[fred1996]

Спасибо.
Как раз то что я искал.