Спасибо за пример! Похоже на правду, т.к. при
![$$\|f_a-f_b\|_{C^\alpha[0,1]}\geqslant 1$$ $$\|f_a-f_b\|_{C^\alpha[0,1]}\geqslant 1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/5/b253a1d4b7345240f2fd56556e55631882.png)
, а дальше по аналогии с несепарабельностью пространства ограниченных последовательностей --- каждую

окружаем шаром радиуса

; эти шары не пересекаются (благодаря приведённому неравенству) и образуют несчётное множество. Поэтому будь пространство сепарабельным, мы получили бы противоречие, т.к. в каждом из этих шаров должно находится по элементу счётного множества.
Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:
Думаю, что вопрос о сепарабельности
![$C^{n+\alpha}[a,b]$ $C^{n+\alpha}[a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/8/5b8a26f34dbd8c074f7feb5447639be782.png)
нужно свести к вопросу о сепарабельности
