Соседняя тема заставила меня вспомнить один старый вопрос, который и у меня возникал, и мне его задавали. Вот есть у меня сходящийся знакопеременный ряд, который выглядит так, что идей о том, как его суммировать, не возникает. Но если его разбить на части, то суммирование проходит если не совсем легко, то во всяком случае легче. Вот, например,
Выделяю чётные и нечётные значения индекса суммирования - получаются два ряда, с которыми справиться можно.
Однако, это ведь фактически перестановка членов ряда. Насколько мне помнится, так можно делать, ничем не рискуя, только с абсолютно сходящимися рядами. В данном случае никакой абсолютной сходимости даже близко нет. Но ответ получается правильный.
Интереса ради я поразвлекался и просуммировал не один ряд подобного типа таким способом. Ряды были из справочника, мой результат всегда со справочником совпадал. Понятно, что это ничего не значит - просто я не наткнулся на ряд, который смог бы просуммировать и который бы меня сильно огорчил. Возникают два вопроса:
1. существуют ли утверждения, позволяющие при определённых условиях менять порядок членов ряда при суммировании?
2. если всё-таки это противозаконно всегда, то как можно было просуммировать хотя бы тот ряд, который я привёл в пример? Я понимаю, там наверняка можно поиграть с чисто арифметическими преобразованиями дробей, но это метод не слишком универсальный.
Интересно ещё то, что в одном из своих упражнений я наткнулся на ряд, который я разложил на три ряда. Все три ряда расходились, но, скажем так, "одинаково расходились". После их сложения расходимости ушли, и ответ получился верный