Мат. ожидание по кусочно-непрерывной функции распределения

[lantza]

В книжке есть следующее утверждение, которое дали без доказательства:
Пусть $\xi : \Omega \to \mathbb{R} $ - случайная величина в вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal {F}, P)$, имеющая функцию распределения в виде $F_\xi(x) = F_0(x)I(\{x \in (-\infty, a_1)\}) + \sum\limits_{i = 1}^{n} F_i(x)I(\{x \in [a_i, a_{i+1})\})$, где все функции $Fi(x)$ дифференцируемы на $\mathbb{R}$; $-\infty = a_0 < a_1 < ... < a_n < a_{n+1} = +\infty$, а $I({...})$ - индикаторные функции. Тогда для любой кусочно-непрерывной функции $\varphi(x) = \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ математическое ожидание случайной величины $\varphi(\xi)$ равно
$\operatorname {E}\varphi(\xi) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int\limits_{a_i}^{a_{i+1}} \varphi(x)F'_i(x)dx + \sum\limits_{i = 1}^{n} \varphi(a_i) (F_i(a_i)-F_{i-1}(a_i))$.

Эта функция $F_\xi$ не является ни дискретной, ни абсолютно непрерывной. Где можно прочесть доказательство этого утверждения?

[DeBill]

lantza в сообщении #1183243 писал(а):

Где можно прочесть доказательство этого утверждения?

Вообще то, Вы сформулировали два утверждения: формулу для матожидания (она следует из определения интеграла Стильтьеса; надо только потребовать непрерывность $\varphi$ в точках разрыва $F_{\xi}$), и

lantza в сообщении #1183243 писал(а):

функция $F_\xi$ не является ни дискретной, ни абсолютно непрерывной

Последнее немедленно следует из определения; с двумя оговорками:
1. речь идет о случайной величине $\xi$ - именно она будет дискретной или ...
2. Это - правда, если у $F_{\xi}$ есть хотя бы один разрыв, и хотя бы одна из $F_i$ непостоянна на соответствующем участке. Действительно, тогда $F_{\xi}$ имеет разрывы (и $\xi$ не абс. непрерывна), но $F_{\xi}$ не кусочно-постоянна ($\xi$ - не дискретна)

[--mS--]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1183250 писал(а):

1. речь идет о случайной величине $\xi$ - именно она будет дискретной или ...

А вот меня, например, учили, что дискретным (абсолютно непрерывным и т.п.) может быть только распределение случайной величины, а "дискретная случайная величина" - это сленг. И математическая энциклопедия тоже так думает :).

[DeBill]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1183279 писал(а):

"дискретная случайная величина" - это сленг.

Эт да, оно самый и есть ....