Опять трение. Веревка через бревно

[fred1996]

Сто лет назад встречал такую задачу уже не помню где.
Если тут пролетала, звыняйте. Я человек новый и ваши тыщи задач мне просмотреть не под силу.
Задачка очень физическая. То есть она решается и математически, но физически гораздо красивее.
Висит бревно.
Через него перекинута веревка. Между бревном и веревкой существует сила трения, которая подчиняется всем идевльным соотношениям статического и динамического трения.
К одному концу веревки прикрепили груз $\mathbf{mg}$.
К другой конец веревки удерживают с минимально возможной силой $\mathbf{F}$, так чтобы груз только-только не двигался вниз. Понятно что за все отвечает статическое трение.
Теперь увеличиваем силу до тех пор, пока груз не начнет толь-только подниматься.
Вопрос естественный.
При какой минимальной приложенной силе груз еще не будет будет подниматься.
Повторю.
Задачку можно решить математически (5 минут), а можно чисто физически ( с помощью петли и палки) за 2 секунды.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183216 писал(а):

При какой минимальной приложенной силе груз еще не будет будет подниматься.

Наверно, имелось в виду "максимальной", или вместо "еще не" подразумевалось "уже".
Сила $(mg)^2/F$.
А что означает "решить физически" - поставить эксперимент?

[fred1996]

Ну да.
Перепутал еще и уже.
А как вы ее решили, с помощью математики или физики?

[dovlato]

Да, красиво. Пропорцию составить, и ага.
Кстати, вот не сходя с места придумалось само. Допустим, вот всё, что известно:
Груз неизвестного веса удерживается силой $f_1$, если нить поворачивает вокруг бревна на угол $\alpha_1$.
А если этот угол $\alpha_2$, то минимальная сила $f_2$. Какова будет минимальная сила $f$ для угла $\alpha$?

[fred1996]

dovlato в сообщении #1183462 писал(а):

Да, красиво. Пропорцию составить, и ага.
Кстати, вот не сходя с места придумалось само. Допустим, вот всё, что известно:
Груз неизвестного веса удерживается силой $f_1$, если нить поворачивает вокруг бревна на угол $\alpha_1$.
А если этот угол $\alpha_2$, то минимальная сила $f_2$. Какова будет минимальная сила $f$ для угла $\alpha$?

Можно воспользоваться формулой доя лебедки с трением:
${f=f_0\exp(-\mu\alpha)}$

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183233 писал(а):

А как вы ее решили, с помощью математики или физики?

Я не понимаю, что вы имеете в виду.

[fred1996]

DimaM в сообщении #1183750 писал(а):

fred1996 в сообщении #1183233 писал(а):

А как вы ее решили, с помощью математики или физики?

Я не понимаю, что вы имеете в виду.

С помощью математики мы честно пишем 6 уравнений и пользуемся пропорционалтностью максимальной статической силы трения и реакции опоры.
Во второй задачке про бревно так придется и сделать.
А физически, это просто включить воображение и чуток логики.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183759 писал(а):

С помощью математики мы честно пишем 6 уравнений и пользуемся пропорционалтностью максимальной статической силы трения и реакции опоры.

Гм, одно уравнение дает формулу Эйлера, еще два условия равновесия. Откуда шесть?

fred1996 в сообщении #1183759 писал(а):

А физически, это просто включить воображение и чуток логики.

Вот тут хотелось бы подробностей.

[fred1996]

Ага.
Значит все-таки математика.
Уравнение Эйлера школьник не обязан знать, хотя зная дифференциальное исчисление его можно и вывести.

Короче, если в прямом варианте честно выписать уравнения равновесия
То получим ровно три:

$\(F_1=f_1+mg$
$\(F_1+mg=N_1$
$\(f_1=kN_1$

Здесь
$F_1$ - сила с которой удерживаем груз
$f_1$ - сила трени
$N_1$ - реакция опоры
$k$ - к-т пропорциональности между силой трения и реакцией опоры ( неизвестный)

Для второго случая выписываем практически такие же уравнения и приравниваем к-ты пропорциональности, которые естественно совпадают.
Мы полагаем анизотропию трения направлению :)

С точки зрения же физики у нас в првом случае сила уравновешивает груз и они пропорциональны, а во втором груз уравновешивает силу и они тоже пропорциональны. Пничем к-т пропорционашьности один и тот же.
Отсюда и 2 секунды на решение.
Плюс 10 секунд на прочтение условия задачи.

[DimaM]

fred1996
Изящно, но больше похоже на подгонку под известный ответ.
Для угла, не равного $\pi$, не работает.

[fred1996]

Почему не работает?
При любых углах все силы пропорциональны с фиксированными к-тами пропорционалтности.
В принципе для тех, кто знаком с формулой Эйлера можно вообще не привлекать ни силы трения, ни реакцию опоры.
В прямом варианте
$F_1=mg\exp(-\mu\alpha)$
В обратном наоборот
$mg=F_2exp(-\mu\alpha)$
Опять делаю поправку, что американские школьники не знакомы с формулой Эйлера.
Вообще-то конечно сложновато иногда приходить к какому-то общему знаменателю.
Есть еще сильная разница в терминологии и других диспропорциях.
Я, например, могу обучать школьников любым математическим предметам исключая теорию вероятностей. Здесь она называется статистикой. Традиционно в американских школах ей уделяют повышенное внимание. А в советских мы по-моему ее даже не затрагивали.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1184129 писал(а):

Почему не работает?
При любых углах все силы пропорциональны с фиксированными к-тами пропорционалтности.

Напишите для угла $2\pi$. У меня не получилось.