Задача про стрельбу на Луне.

[fred1996]

Эту задачу я придумал пару месяцев назад, но потом выяснилось, что ее придумали еще в 18 веке.
На Луне практически нет атмосферы в нашем понимании. То есть она присутствует, но в очень разреженном виде. Можно сказать там вакуум гораздо выше, чем это можно создать в любой вакуумной установке на земле.
Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты. А дальность стрельбы бы была около 100 км. Сравните с реальной максимальной дальностью порядка 3.5 км.
Так вот, возьмет такой вот АК любой модификации и выстрелим из него на Луне. Пусть скорость пули на вылете будет $\mathbf{V}$. Наверное вы в курсе, что у лучших модификаций она порядка 1км/с
А теперь прикинем, что первая космическая скорость на Луне около 1.6 км/с. То есть нашей пуле всего ничего не хватает, чтобы превратиться в искусственный спутник Луны.
Вопрос такой. Зная скорость пули на вылете $\mathbf{V }$ и зная первую космическую скорость на Луне $\mathbf{V_0}$, при известных радиусе Луны $\mathsf{R}$ и ускорении свободного падения у поверхности луны $\mathsf{g}$, определить максимальную дальность стрельбы и угол.

[Munin]

А сами-то вы её решили?

[fred1996]

Задача требует некоторых вычислений связанных с применением геометрических и алгебраических свойств эллипса, ну и, как всегда в задачах на гравитацию, известных законов сохранения.
Приятно что имеет аналитическое, хотя и достаточно громоздкое решение.
Сам я ее решил до того, как узнал про 18 век.
Собственно в условии достаточно задать Отношение $\beta=v/v_0$ начальной скорость пули к первой космической. Тогда ответ можно получить в виде максимального угла пролета пули относительно центра луны (ее угловое перемещение). Ну и соответственно требуемый для этого угол выстрела по отношению к поверхности Луны. При малых скоростях он, понятно, будет близок к 45 градусам.

[Munin]

Стало быть, решение громоздкое. Ясно.

[fred1996]

Ну да.
Задача требует последовательного применения всего что вы знаете о гравитации в рамках школьной программы в применении к эллиптическим орбитам, выраженным в полярных координатах. Наверное в ней нет " олимпиадной изюминки", но за ее решение можно смело ставить зачет за раздел гравитации в вузовском курсе общей физики.

[Mihr]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1182920 писал(а):

На Луне практически нет атмосферы в нашем понимании.
Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты.

Откуда сбивать? Атмосферы-то нет...

[dsge]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1182920 писал(а):

Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты.

"Если бы на земле была такая атмосфера", то у самолетов возникла бы проблема с полетами.

[Pphantom]

Ну, по большому счету, она вполне стандартная и не такая уж громоздкая. Собственно

(скелет решения, кто не хочет - не подглядывайте)

Для простоты вспомним, что первая космическая скорость $v_0 = \sqrt{\frac{\varkappa^2}{R}}$, где $\varkappa^2$ - гравитационный параметр Луны, $R$ - ее радиус (ускорение свободного падения на поверхности просто не нужно). Поскольку скорость $v$ на расстоянии $R$ от притягивающего центра известна, то

$$ v^2= \varkappa^2 \left(\frac{2}{R} - \frac{1}{a}\right),$$

и тем самым мы знаем большую полуось "орбиты" пули $a$.

Уравнение эллипса в полярных координатах $r=\frac{p}{1+e\,\cos\theta}$, в точках старта и финиша полета $r=R$, из очевидных соображений требуется сделать истинную аномалию $\theta$ точки старта как можно меньшей. Поскольку фокальный параметр $p=a\,(1-e^2)$, то из выражения

$$R=\frac{a\,(1-e^2)}{1+e\,\cos\theta}$$

выражаем $\cos\theta$ и решаем простую задачу на условный экстремум, разыскивая максимум косинуса как функции $e$. Получаем $e=\sqrt{1-\frac{R}{a}}$. Тем самым мы знаем $\theta$ старта, отсюда дальность $2\,(\pi - \theta) R$.

Поскольку модуль интеграла площадей $c=p\,\varkappa$, мы знаем в точке старта модуль векторного произведения радиус вектора и скорости. Соответственно, $p\,\varkappa=R\,v\,\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол к горизонту, с которым нужно стрелять. Все.

[fred1996]

Да, кажется вы решили задачку лучше меня.
Я в промежутке еще сосчитал какие скорости и расстояния в перигее и апогее, а потом связал эти переменные с параметрами эллипса в полярных координатах. Поэтому мой вариант более громоздкий.

[Red_Herring]

А для самых занятых/ленивых : 1) чему равна наибольшая дальность при $v=1km/sec$ на Луне? Можно ли покрыть всю Луну? 2) И какова должна быть скорость для покрытия Луны? Для того, чтобы получить свою пулю в затылок?

[fred1996]

Red_Herring в сообщении #1183186 писал(а):

А для самых занятых/ленивых : 1) чему равна наибольшая дальность при $v=1km/sec$ на Луне? Можно ли покрыть всю Луну? 2) И какова должна быть скорость для покрытия Луны? Для того, чтобы получить свою пулю в затылок?

Пулю в затылок - это первая космическая скорость . На луне она 1.6 км/с
А здесь вот есть подробное решение задачи из книжки 18 века:
http://edgeways.ru.mastertest.ru/forum1 ... msg-680358